2016 Fiscal Year Annual Research Report
Renovating solutions and applications of coefficient inverse problems for partial differential equations
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15H05740
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
山本 昌宏 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (50182647)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
羽田野 祐子 筑波大学, システム情報系, 教授 (60323276)
磯崎 洋 立命館大学, 理工学部, 授業担当講師 (90111913)
中村 玄 北海道大学, 理学研究院, 名誉教授 (50118535)
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| Project Period (FY) |
2015-05-29 – 2020-03-31
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| Keywords | 関数方程式論 / 逆問題 / リーマン計量決定 / 非ニュートン流体 / 非整数階偏微分方程式 / 一意性・安定性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
主要４課題ごとに述べる。課題（Ａ）境界値逆問題：連立楕円型方程式の境界値逆問題の一意性を2次元の場合に非一意性の特徴付けも含めて解決した。さらに逆問題の安定性評価式を代表者らが確立した。研究分担者は関連したスペクトル逆問題や再構成について成果を挙げた。課題（Ｂ）リーマン計量決定逆問題：研究代表者らが、ユークリッド空間内に埋め込まれた計量を境界上のかってな2点を結ぶ線分上での積分値全てから決定する積分幾何における逆問題の一意性をある線型化の下で証明し出版した。1階の偏微分方程式に変換するという方法論は有用であることは知られていたが、最近はあまり注目されることはなかったが、本研究により有効性が再確認されたことの意義は今後の研究の展開にとり重要である。課題（Ｃ）非ニュートン流体ならびに粘弾性体における係数決定逆問題：非圧縮粘性流体の基礎方程式であるナビエ・ストークス方程式について、逆問題の一意性・安定性を確立する基礎的な道具であるカーレマン評価式を出版した。投稿中であるが、非等方性の媒質の場合の粘弾性方程式に対する外力項決定逆問題についての成果もある。さらに多様な関連する方程式の逆問題の数学解析を広範に進めた。課題（Ｄ）非整数階偏微分方程式：不均質媒質中の特異拡散などの物理的背景から、緩和関数を含む一般的な型の非整数階微分や分布型非整数階微分をもつ拡散方程式の順問題ならびに逆問題の研究に取り組み、成果を公表した。また、研究代表者と分担者・羽田野教授はセシウムの汚染予測のために移流拡散方程式などに基づく逆問題の考察などを行い、本研究計画による逆問題の数学による成果を実データにより評価した。本計画は逆問題の数学解析を発展・深化を目指すものであるが、その成果を現実の課題解決を通じて実社会への還元するために、実データや現場の研究者との連携によって数学手法の検証を行っている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
課題（Ａ）：連立楕円型方程式も含めて空間次元が2 の場合に一意性の研究をほぼ終了した。また分担者によって密接に関連した課題について成果が着実に挙がっているので、おおむね順調に進展している。
課題（Ｂ）：リーマン計量決定逆問題：当初から最も大きな困難さは想定されており、研究の進捗はやや遅れている。
課題（Ｃ）非ニュートン流体ならびに粘弾性体における係数決定逆問題：当初の研究計画では非ニュートン流体に限定していたが、その後の本研究の進捗により、研究対象も粘弾性方程式に拡張されることがわかり成果の大きな拡大が想定できる。また基礎的な道具であるカーレマン評価式の見通しもついており、平成２９年度以降に成果が大いに期待できるので、当初の計画以上に進展していると判断している。
課題（Ｄ）非整数階偏微分方程式の逆問題と順問題の数学解析：多様な逆問題や解の性質などに関する順問題の成果が雇用したポスドクなども巻き込んで、本研究により効率的に出版され、本研究プロジェクトの国際的な認知度も増大し、国際共同研究も進展している。このようなことから当初の計画以上に進展していると判断している。
さらに、係数決定逆問題が産業界、異分野において果たす重要な役割について、日本語雑誌や講演会を通じて関連分野、業界における研究者や関係者の認識を高めることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
主要な４課題について、難易度などの要因で、それぞれ達成・進捗状況が異なるので本基盤研究の第３年目という観点から全体の遂行について調整を以下のように図る。課題（Ａ）境界値逆問題：単独の楕円型方程式に関しては所期の成果を得たが、28年度までに完了できなかった一般次元の場合の弾性方程式などの連立系についての一意性を確立することを第一に目指す。
課題（Ｂ）リーマン計量決定逆問題：一意性の結果をいわゆる輸送方程式に基づいて確立する方法は強力なものであるので、この手法の追及・深化を図る。この課題の進捗が４課題のうちで最も遅れているので、平成２９年度は海外の研究協力者や共同研究者との連携を強化し、短期期間の招へいによって集中的に解決に取り組む。
課題（Ｃ）非ニュートン流体、粘弾性体の係数決定逆問題：流体のさまざまな方程式に対して基本的な道具であるカーレマン評価式をまず完成させ、それらを係数決定逆問題に適用して一意性・安定性を確立していく。これまでの本研究により、課題（Ｃ）は手法的に熱弾性、粘弾性などの種々の方程式の逆問題に大いに関連していることがわかってきたので、粘弾性方程式の逆問題の数学解析にも対象を拡大する。手法や基本構想はほぼできあがっているので、ポスドクなどと共に速やかな出版につなげていきたい。また、数学解析のために本基盤研究で開拓、発展させた方法論についての専門書を執筆中で、速やかな出版を目指す。
課題（Ｄ）非整数階偏微分方程式の順問題と逆問題の包括的な研究：もともとの非整数階偏微分方程式の逆問題の解決のためには、実は、初期値・境界値問題の解の定義、一意存在や漸近挙動などの順問題の基本性質の研究の整備が急務であり、これまでの成果を発展させて単行本ならびにハンドブックの分担執筆なども行っていく。
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