2015 Fiscal Year Annual Research Report
離散可積分系の行列式解の漸近解析とその数値計算アルゴリズムへの応用
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15J00029
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
新庄 雅斗 京都大学, 情報学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| Keywords | 離散可積分系 / ハングリー可積分系 / ロトカ・ボルテラ系 / フィボナッチ数 / 漸近解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
離散可積分系研究に基づき，離散可積分系の特殊なクラスである離散ハングリー可積分系に焦点を当て，行列式解の観点から漸近解析を行った．
複数種の生物に対する捕食関係を記述する離散ハングリーロトカ・ボルテラ(dhLV)系の解が，カソラチ行列式を用いて記述できることから，離散パラメータを正の値に限ることなくdhLV系の収束性を明らかにした．数理生物学的には，本来dhLV系のもつ離散パラメータは正であるが，この成果により離散パラメータが負の値であっても，漸近的に収束することを示した．これはdhLV系に基づいて定式化された固有値計算のためのdhLVアルゴリズムにおいて，原点シフトを導入した場合の収束性を保障したことになる．
dhLV系とは別に興味深い離散ハングリ－可積分系として，離散ハングリー戸田(dhToda)方程式がある．dhToda方程式は，離散可積分系を代表する離散戸田方程式の一般化の一つであり， dhLV系と同様にカソラチ行列式を用いて解が表現されるが，初期値のもつ任意性や関連する固有値問題など未解明な部分が多い，そこで，行列式解に現れる数列の観点から離散戸田方程式を見直し，一般化することでdhToda方程式の解明を試みた．その結果，2種類の時間変数をもつ数列の導入によって，複数の離散可積分系の行列式解と，離散時間極限での収束性を同時に捉えることに成功した．
また，カソラチ行列式の成分がフィボナッチ列を成すとき，任意の離散時間でカソラチ行列式がフィボナッチ性を保存することを見出し，dhLV系の特殊解が，離散時間極限で黄金比を拡張した値に収束することを示した．これは，数理生物モデルとフィボナッチ性の密接な関わり合いを示しているだけでなく，行列式解に潜む数列の満たす線形方程式が，離散可積分系に強い制約を与えることを示唆している．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成27年度において離散可積分系の行列式解の漸近解析とその応用の研究において以下の複数の成果を得た。まず、離散ハングリーロトカ・ボルテラ(dhLV)系のカソラチ行列式解に対して，カソラチ行列式の漸近展開定理により，ゼロ割が起きない場合には，離散パラメータを正の値に限ることなくdhLV系の漸近的収束性を示した．これはdhLVアルゴリズムの実用化に不可欠な原点シフトの導入を可能とする数学的性質である．この研究成果についてまとめた論文が平成27 年8 月にCogentMathematics 誌において採録された．つぎに，2種類の時間変数をもつ数列によって離散戸田方程式とその行列式解の離散時間極限での収束性を解明したが，これは離散ハングリー戸田(dhToda)方程式の漸近解析に有効と期待される．この成果については、現在、海外の専門誌に投稿中である．一方、カソラチ行列式の成分がフィボナッチ列であるとき，カソラチ行列式もまたフィボナッチ列となることに注目して，dhLV系の特殊解が離散時間無限大の極限で黄金比を拡張した値に収束することを示した．この結果についても国際会議発表を経て海外の専門誌に投稿中である．
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| Strategy for Future Research Activity |
2種類の時間変数をもつ数列の導入は，離散可積分系とその行列式解の導出に加え，離散時間極限での漸近挙動までを説明可能にする．したがって，これまでの研究成果の一般化を行い，離散ハングリー可積分系へ応用することで，未解明な部分の残るdhToda方程式の一層の解析をはかる．また，研究計画に沿って，特殊な離散化により導かれるq-離散可積分系についても，カソラチ行列式解の観点から漸近解析を試みる．
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