2016 Fiscal Year Annual Research Report
離散可積分系の行列式解の漸近解析とその数値計算アルゴリズムへの応用
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15J00029
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
新庄 雅斗 京都大学, 情報学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| Keywords | 離散可積分系 / ハングリー可積分系 / 戸田方程式 / ロトカ・ボルテラ系 / 漸近解析 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非線形な波動現象を表わすソリトン解をもつ可積分系の離散化によって導かれる離散可積分系の解は，一般に行列式の組み合わせで表現される．これまでの研究において，離散可積分系の解に現れる行列式の離散時間極限における漸近展開に基づき，離散可積分系の特殊なクラスである離散ハングリー可積分系に焦点を当て，その解の漸近解析を行ってきた．
離散ハングリー可積分系において，番号付き箱玉系と呼ばれるセルオートマトン系の一種を逆超離散化して得られる離散ハングリー戸田(dhToda)方程式がある．dhToda方程式は離散可積分系を代表する離散戸田方程式の一般化の一つであり，これまで数値解析の観点からは数多く議論されているものの，行列式を用いた解の表現，初期値のもつ任意性や関連する固有値問題などは十分に解析されていなかった．そこで，これまでの研究から得た知見を踏まえて，dhToda方程式の解析を試みた結果，境界条件に対応した線形方程式を満たす数列を通して，行列式を用いた一般解や固有値問題を捉えることに成功した．また，dhToda方程式の解の一部が，離散時間極限で，dhToda方程式の初期値から与えられる帯行列の固有値に収束することも明らかにした．
さらに，数列の時間変数を２種類に拡張することで，陰的シフト付きの固有値計算アルゴリズムに対応するｄｈＴｏｄａ方程式の非自励化にも成功しており，同時に，非自励なdhToda方程式についても，行列式を用いた解の導出や２種類の離散時間変数極限における収束性，複数種の生物の捕食関係を捉えた離散ハングリーロトカ・ボルテラ系とのベックルンド変換も明らかにしている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
可積分な離散戸田方程式(dToda)との対応が知られているquotient-difference (qd) アルゴリズムは3重対角行列の固有値計算アルゴリズムとして実装され国際標準となっている．dTodaのある種の拡張であるdhTodaに着目し，正値性が成り立たない場合でも，解の一部が帯行列の固有値に収束することを明らかにした．これは可積分アルゴリズムの枠組みを根本から変える可能性のある結果である．解析が困難であった非自励型dhTodaやdhTodaとベックルンド変換で結ばれるdhLV系についても解の導出や収束性の証明を与え，国際学術論文誌に投稿準備中である．以上のように，新しい固有値計算アルゴリズムへの応用を見据えた離散可積分系に関する研究において重要な進展があったと考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究計画に沿って，行列式を用いた解をもつ離散可積分系の漸近解析を行う．ソリトン方程式のmKdV方程式の時間空間離散版とみなせる離散シューアフローがティープリッツ行列式解をもつことに着目し，ティープリッツ行列式の漸近展開定理を導き，漸近解析及びその数値計算アルゴリズムへの応用を考える，また，特殊な離散化により導かれるq-離散可積分系についても，行列式解の観点から漸近解析を試みる．
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