2016 Fiscal Year Annual Research Report
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15J02465
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
木村 雄太 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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2015-04-24 – 2018-03-31
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| Keywords | Tilting objects / Preprojective algebras / Cluster categories |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究成果の第一に, 研究者が前年度から続けて研究を行っている三角圏での結果が上げられる. 研究者は前射影多元環Λとコクセター群の元wから得られる有限次元多元環Λwについて, その次数付きCohen-Macaulay加群の安定圏GCM(Λw)の研究を傾理論の観点から行った. 研究者は名古屋大学の伊山教授と岡山大学の吉野教授による三角圏のn-団傾理論を用いることで, 三角圏GCM(Λw)は常に準傾対象Tを持つことを証明した. 更に準傾対象Tが傾対象となるためのwの十分条件を与え, かつTの自己準同型多元環End(T)の大域次元が高々2であることも証明した. これにより, 三角圏の傾理論を用いることで, GCM(Λw)はEnd(T)の有界導来圏と同値であることが証明される. また, Amiot-Reiten-Todorovらの先行研究で与えらたれ圏同値と, 本研究で得られた圏同値のある種の可換性が成立することが証明された.
第二に, 遺伝的多元環Aの有界導来圏D(A)の加群圏modD(A)における結果があげられる. 一般に多元環Aに対して, 安定圏smodD(A)は三角圏になることが知られている. Iyama-Oppermannらは, 多元環Aが有限表現型遺伝的多元環のとき, 三角圏smodD(A)がAの安定アウスランダー多元環の有界導来圏と同値となることを証明した. 研究者はこの結界を無限表現型遺伝的多元環に拡張した. その際, 研究者はIyama-Oppermannらの定理を証明する際に不可欠であったHappelの定理をdualizing varietyと呼ばれる加法圏に拡張することに成功した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究状況は予定通りだといえる. 第一の進展として, 研究者が前年度の終わりに発見した傾対象Tについて, その傾対象の自己準同型環の解析およびそれによるAmiot-Reiten-Todorovらの先行研究との比較が上げられる. 先行研究で与えられた圏同値と相性の良い傾対象を構成することは本研究の主目的であった. 研究者は今回の研究で, 傾対象Tが目的の傾対象であることを証明した. この点において順調な進展と言える.
有限表現型遺伝的多元環に対してIyama-Oppermannらが証明した圏同値について, その無限表現型遺伝的多元環への拡張も順調な進展と言える. 先行研究では更に一般にn-有限表現型多元環に対して, ある圏同値が示されている. その定理の1-無限表現型多元環への拡張が今回の結果と言える. これはさらなる高次への拡張が期待できる結果と捕らえることができる.
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は研究実績の概要に記した内容について, 高次の多元環への拡張を目的に研究を進めていく. 前射影多元環の高次への拡張はIyamaにより与えられている. しかし, 高次の場合, コクセター群に対応するものが知られていない. 更に, Amiot-Reiten-Todorovらの先行研究に対応する圏同値も知らていない. これらの点が最初に取り組むべき問題である. 一方傾対象の存在は, 上記同様n-団傾理論の適応により解決されることが期待される.
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Research Products
(7 results)
