2015 Fiscal Year Annual Research Report
有限生成群上のランダムウォークの性質とその応用についての研究
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15J02838
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
中村 ちから 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| Keywords | ランダムウォーク / ランプライターグラフ / フラクタル / ランダムコンダクタンスモデル / 重複対数の法則 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、１．申請者の昨年度からの続きの研究であるランプライターグラフ上のランダムウォークの重複対数の法則に関する研究を完成させ、２．さらに、申請者の研究課題の一つであるランダムグラフへの応用として、ランダム媒質の上のランダムウォークの漸近挙動に関する研究を行った。詳細は次のとおりである。
１．フラクタル的なグラフ上のランダムウォークについて、ある頂点に滞在する時間（局所時間）と訪れた頂点数（レンジ）とについて、重複対数の法則を導いた。これはフラクタル上のブラウン運動の類似の結果であるが、先行研究の証明は離散時間のランダムウォークでは本質的に適用できない箇所があり、これを補完することでこれを解決した。これによりランプライターグラフと呼ばれるグラフ上のランダムウォークの重複対数に関する研究を完成させた。これらの結果を論文にまとめ、投稿した。
２．ランダム媒質中のランダムウォークの漸近挙動を解析する研究の一環として、ランダムコンダクタンスモデルと呼ばれるランダム媒質のモデルのうえのランダムウォークの漸近挙動に関する研究を行った。ランダムコンダクタンスモデルは、優臨界相パーコレーション、ガウス自由場のレベルセットやインターレイスメントなどの多くの重要なモデルを含む。近年、ランダムコンダクタンスモデル上のランダムウォークの性質の解析がなされているが、本研究はそれを発展させるものである。このモデル上のランダムウォークの重複対数の法則を導き、さらにレート関数を求める研究を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
申請者の一つの研究課題であるランダムグラフ上のランダムウォークの性質に関する研究に関しては結果を出すことができたが、もう一つの研究課題である有限生成群上のランダムウォークの性質に関する研究に関して結果を得られていないため。
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| Strategy for Future Research Activity |
１．昨年度の研究の続きとして、ランダムコンダクタンスモデル上のランダムウォークの漸近挙動の解析としてレート関数を求める研究を行う。
2. ランプライターグラフの上のランダムウォークについて、グラフの等周不等式のような幾何学的な性質とランダムウォークの漸近挙動の関連を明確にする研究を行う。特にフラクタルグラフ上のランダムウォークの性質を特徴づけるウォーク次元との関連を探る。
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