2016 Fiscal Year Annual Research Report
ミラー対称性による齋藤構造における実，整構造の研究
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15J02913
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
白石 勇貴 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| Keywords | フロベニウス多様体 / 原始形式 / 圏論的エントロピー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度の研究報告における，一般化ルート系に対するオイラー形式の一意性の証明についての瑕疵が発見され，交叉形式のラジカルの階数が一次元以下でないと成立しないことが判明した．ザイフェルト形式とミルナーモノドロミーの関係の類推から，このオイラー形式はコクセター変換の「平方根」によって捻ることで，ワイル群の軌道空間上に不変式論を用いて構成されると予想されるフロベニウス構造の(原点での)非退化対称双線型形式を与えるべき重要な形式である．このため，現状では不足している自然な特徴付けを求め，交叉形式のラジカルの階数によらない一意性の証明の修正を継続している．
ドゥミトロフ・ハイデン・カジャルコフ・コンツェビッチ四氏により，前三角的なA無限大圏の自己函手に対するエントロピーが定義された．これは複素力学系における位相的エントロピーの自然な拡張となっている．共同研究者の高橋篤史氏は，位相的エントロピーにおいて基本的な，グロモフ・ヨムディンの定理の類似として，次の予想を提示した．
「（予想）自己同値函手に対するエントロピーと，自己同値函手が数値的グロタンディーク群に誘導する自己同型写像のスペクトル半径の対数は一致する．」
本研究では，ガイグル・レンチング氏によって定義された軌道体射影直線と，その上の連接層のなす導来圏について，(i) 軌道体オイラー数が非零の場合には，エントロピーがスペクトル半径の対数に一致し，さらに，それらの値が0であること，(ii) 軌道体オイラー数が零の場合にも，エントロピーがスペクトル半径の対数に一致する．さらに，この値が，自己同値函手がとある2階の自然な非退化双線型形式つきの自由加群に誘導する自己同型写像，即ち，特殊線型群の元のスペクトル半径の対数に等しいことを示した．以上の結果を論文にまとめた．(高橋篤史氏と菊田康平氏との共同研究)
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
拡大カスピダルワイル群の不変式論に対するフロベニウス多様体の構成ができなかったため．一方で，フロベニウス構造に対して定まる様々な共形的な数値不変量と関連すると期待できる，導来圏の新たな数値的不変量に対して，知見を得たため．
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| Strategy for Future Research Activity |
当初の計画通りに行うが，特に，強充満例外列を持つ良い代数的三角圏の場合についても，所望の非退化対称双線形式をオイラー形式と，セール函手から誘導される自己同型写像(コクセター変換)の「平方根」を用いて導出する．また，この結果を用いて，フロベニウス多様体を構成することを行う．
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