2015 Fiscal Year Annual Research Report
二重走化性をもつ流体型移流拡散方程式系の特異性構造の解析
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15J04076
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
三浦 正成 九州大学, 数理学府, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| Keywords | Keller-Segel方程式系 / Navier-Stokes方程式 / 走化性方程式 / 時間局的適切性 / 時間大域解の存在 / 有限時間爆発 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
数理生物学と流体力学の基礎方程式であるKeller-Segel方程式系とNavier-Stokes方程式を連立(流体型走化性方程式と呼ぶ．以降NSKSと略記)し，更に二重走化性を考慮した流体型二重走化性方程式(以降 D-NSKSと略記)について考察した．
Keller-Segel方程式系は多くのパラメーターを有し，その取り方によって半線形型，退化型，特異型が現れる豊富な構造を内在している．同方程式系は，放物-放物型および放物-楕円型に分類されるが，ともに重要な研究対象であり，適切性を論じる際それぞれの特性に応じた解析が求められる．
平成27年度には，放物-放物型と放物-楕円型を共に研究対象とし，以下の(i)-(ii)の研究成果を得た．
(i) 放物-放物型を扱い，尺度不変の関数空間において，初期データが小さい場合に時間大域的な軟解を構成し，時間局所的適切性を確立した．NSKSについては，正負のうち片側の走化性を考慮した方程式系の研究はあるものの，正負両走化性を加味したD-NSKSを扱ったものは，我々による研究成果以外には皆無である．同研究成果は，国際学術雑誌[J.Funct. Analysis, 2016, Kozono-Miura-Sugiyama]に掲載されるなど国際的に高い評価を得ている．
(ii) 放物-楕円型について上記研究を発展させ，爆発解の存在条件の導出にも成功した．研究成果は国際学術雑誌に投稿中である.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
数理生物学と流体の基礎方程式であるKeller-Segel系とNavier-Stokes方程式を連立した方程式系を研究対象とし，適切性問題を解明した．研究成果の重要性は国際的にも評価され，国際学術論文誌 J. Funct. Anal.(2016)に掲載されている．加えて，上記研究を発展させ，爆発解の存在条件の導出にも成功しており，研究成果は国際学術雑誌に投稿中である．
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| Strategy for Future Research Activity |
偏微分方程式の解法としては,線形方程式の摂動として弱い意味での“非線形”問題が取り扱われているが,更に方程式のスケール則や解の自己相似性に焦点を当てる事により, 解の爆発や凝集といった非線形特有な現象を解明する事ができると予想される.今後の研究ではスケール則を軸とし，爆発解の漸近挙動を解析することを予定している．具体的には，爆発解の漸近的様相(一点に質量が集中する所謂デルタ関数特異性)の証明を目指す.
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