2015 Fiscal Year Annual Research Report
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15J05166
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
三浦 達哉 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| Keywords | 変分法 / 特異摂動 / ガンマ収束 / 自由境界問題 / 特異点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1)付着モデルの高階特異摂動: 基板に付着する膜の形状に関する一次元エネルギーモデルが Pierre-Louis によって提案されている。本研究ではその物理モデルに対し数学解析を行い、特に高階項である曲げエネルギーを摂動と見做すことで、主要オーダーの特異極限エネルギーを求め、その収束をガンマ収束の意味で証明した。摂動のオーダーやエネルギーの表示が具体的に得られたことは、形状形成の原理を知るうえで物理的にも意義深い。また数学としても、高階障害物問題の解の性質に切り込む結果は限られており、高階項が本質的に寄与する解の選択原理が得られた点は重要である。
(2)平均曲率流の時間局所平滑化効果: 平均曲率流は Mullins が提唱した界面拡散モデルであり、その放物性から強い平滑化効果を持つ。これに対し本研究では、二次元以上において、一点でのみ特異点を持つ軸対称平均凸初期曲面であって、無限回特異点を生成するものを構成した。これまで平滑化に対しては様々な肯定的結果が示されてきたが、本研究はそれらとは対照的であり、平均曲率流の存在正則性理論の補完に有用である。
(3)距離関数の特異点集合: 距離関数は界面モデルの解析等によく用いられる道具だが、近年ではその特異点集合が様々な偏微分方程式と密接に関わることもわかってきている。切断跡とよばれる特異点集合は基本的な対象の一つだが、その性質は境界の正則性や曲率などと密接に関わり、特に境界がC2級でない場合には一般論がほとんどなかった。そこで本研究では、曲率半径を一般化し、より幾何的な論法を用いることで、一般のC1級集合に対し切断跡の特徴付けを与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
初年度の目標であった付着エネルギーの特異極限を求めることに成功しただけでなく、距離関数の特異点集合の解析など、研究課程で現れた新たな課題に対しても一定の成果が挙がったため。
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| Strategy for Future Research Activity |
付着問題に対して、当初の研究目標である特異極限は求まったが、その研究過程で様々な新しい課題が見つかった。例えば、適切な解の存在、高次特異摂動、高次元問題、時間発展問題などがある。特に解の存在などは最も基本的な問いであるが、付着と弾性を同時に扱うこと、またエネルギーを線形化していないことなどによる特有の難しさが潜み、未解明な部分が多い。よって本年度も引き続き付着問題の理論の構築を重点的に行っていく予定である。
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