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2016 Fiscal Year Annual Research Report

離散最大正則性とその有限要素法・有限体積法への応用

Research Project

Project/Area Number 15J07471
Research InstitutionThe University of Tokyo

Principal Investigator

剱持 智哉  東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)

Project Period (FY) 2015-04-24 – 2018-03-31
Keywords有限要素法 / 最大正則性 / 離散最大正則性 / 放物型方程式 / hydrostatic Stokes方程式
Outline of Annual Research Achievements

最大正則性とは偏微分方程式に対する性質の一つであり,非線形放物型方程式やNavier-Stokes方程式を中心とした非線形偏微分方程式に対する解析において広く用いられている.本研究の目標は,最大正則性の時空間に関する離散化を考え,上述の偏微分方程式に対する数値解析,特に有限要素法や有限体積法に対して応用することである.本年度は以下の成果を得た:
(1) Neumann境界条件における楕円型作用素に対する(空間に関する)離散最大正則性
(2) hydrostatic Stokes方程式に対する有限要素法の誤差解析
まずは,(1)について説明する.放物型方程式を有限要素法で離散化した問題に対する離散最大正則性の研究において,Neumann境界条件を考えている場合は,技術的な理由により,2次元の凸領域においてしか適用することができない結果になっていた.そこで,本年度は,任意の次元におけるNeumann問題を取り扱うために,境界が滑らかで,一般に非凸な領域における放物型方程式のNeumann境界値問題に対する有限要素法を考察した.その結果,離散的な半群の最大値ノルムによる有界性と解析性,最大値ノルムによる誤差評価,そして,ルベーグ空間における離散最大正則性を導くことができた.この成果により,「日本数学会応用数学研究奨励賞」を受賞した.
次に,(2)に関して説明する.この方程式は,地球表面の海水や大気の運動を記述するprimitive方程式と呼ばれる方程式の線形化問題であり,Navier-Stokes方程式に対するStokes方程式に対応する方程式である.通常のStokes方程式よりも良い性質を持つために,Stokes方程式と比べて離散最大正則性を導きやすいと期待できる.そこで,そのための準備として,有限要素法の定式化と,エネルギーノルムによる誤差評価を導いた.

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

放物型方程式のNeumann境界値問題に関して, ほとんどベストな結果を得ることができたため.

Strategy for Future Research Activity

放物型方程式に対して得られた結果を, 非線形問題へ応用することを考察する.
また, 放物型問題であっても, 作用素が正定値でない場合についても考察し, 反応拡散方程式などの非線形問題へ応用する.
hydrostatic Stokes方程式など, 流体方程式に対する基礎研究と応用も引き続き考察する.

  • Research Products

    (12 results)

All 2017 2016

All Journal Article (1 results) (of which Peer Reviewed: 1 results,  Acknowledgement Compliant: 1 results) Presentation (11 results) (of which Int'l Joint Research: 5 results,  Invited: 6 results)

  • [Journal Article] Discrete maximal regularity for abstract Cauchy problems2016

    • Author(s)
      T. Kemmochi
    • Journal Title

      Studia Mathematica

      Volume: 234 Pages: 241--263

    • DOI

      10.4064/sm8495-7-2016

    • Peer Reviewed / Acknowledgement Compliant
  • [Presentation] Error estimate for the finite element semi-discretization of the nonstationary hydrostatic Stokes equation2017

    • Author(s)
      T. Kemmochi
    • Organizer
      The 14th Japanese-German International Workshop on Mathematical Fluid Dynamics
    • Place of Presentation
      早稲田大学西早稲田キャンパス (東京都新宿区)
    • Year and Date
      2017-03-09 – 2017-03-09
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Juliaによる発展方程式の数値計算と可視化2017

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      非線形現象と高精度高品質数値解析
    • Place of Presentation
      富山大学人間発達科学部 (富山県富山市)
    • Year and Date
      2017-02-13 – 2017-02-13
    • Invited
  • [Presentation] 偏微分方程式に対する有限要素法における諸問題2016

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      研究集会「数学と諸科学の融合 2016」
    • Place of Presentation
      早稲田大学早稲田キャンパス (東京都新宿区)
    • Year and Date
      2016-12-19 – 2016-12-19
    • Invited
  • [Presentation] 滑らかな領域における放物型問題の有限要素近似に対する$L^\infty$誤差評価2016

    • Author(s)
      剱持智哉, 柏原崇人
    • Organizer
      2016年度応用数学合同研究集会
    • Place of Presentation
      龍谷大学瀬田キャンパス (滋賀県大津市)
    • Year and Date
      2016-12-16 – 2016-12-16
  • [Presentation] Discretization of maximal regularity and its application to the finite element method2016

    • Author(s)
      T. Kemmochi
    • Organizer
      The 13th Japanese-German International Workshop on Mathematical Fluid Dynamics
    • Place of Presentation
      Darmstadtium, Darmstadt (Germany)
    • Year and Date
      2016-11-30 – 2016-11-30
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Discrete maximal regularity and its application to the finite element method2016

    • Author(s)
      T. Kemmochi
    • Organizer
      IRTG seminar
    • Place of Presentation
      TU Darmstadt, Darmstadt (Germany)
    • Year and Date
      2016-10-27 – 2016-10-27
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] 最大正則性と作用素の分数べきによる, 放物型方程式に対する有限要素法の誤差解析2016

    • Author(s)
      剱持智哉, 齊藤宣一
    • Organizer
      日本数学会2016年度秋季総合分科会 (応用数学分科会)
    • Place of Presentation
      関西大学千里山キャンパス (大阪府吹田市)
    • Year and Date
      2016-09-18 – 2016-09-18
  • [Presentation] 平面曲線の勾配流に対するB-splineによる構造保存数値解法2016

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      日本応用数理学会2016年度年会
    • Place of Presentation
      北九州国際会議場 (福岡県北九州市)
    • Year and Date
      2016-09-12 – 2016-09-12
  • [Presentation] 平面曲線の勾配流に対するB-splineによる構造保存数値解法2016

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      第38回発展方程式若手セミナー
    • Place of Presentation
      あうる京北 (京都府京都市)
    • Year and Date
      2016-08-31 – 2016-08-31
  • [Presentation] Discrete maximal regularity and the finite element method for parabolic problems2016

    • Author(s)
      N. Saito and T. Kemmochi
    • Organizer
      The Sixth China-Japan-Korea Joint Conference on Numerical Mathematics (CJK2016)
    • Place of Presentation
      NIMS, Daejeon (Korea)
    • Year and Date
      2016-08-24 – 2016-08-24
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Discrete maximal regularity and the finite element method for parabolic problems2016

    • Author(s)
      T. Kemmochi
    • Organizer
      SIAM East Asian Section Conference 2016 (EASIAM2016)
    • Place of Presentation
      University of Macau, Macau (China)
    • Year and Date
      2016-06-20 – 2016-06-20
    • Int'l Joint Research

URL: 

Published: 2018-01-16  

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