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2017 Fiscal Year Annual Research Report

離散最大正則性とその有限要素法・有限体積法への応用

Research Project

Project/Area Number 15J07471
Research InstitutionThe University of Tokyo

Principal Investigator

剱持 智哉  東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC1)

Project Period (FY) 2015-04-24 – 2018-03-31
Keywords有限要素法 / 解析半群 / 最大正則性
Outline of Annual Research Achievements

放物型方程式に対する最大正則性と呼ばれる性質の離散化とその応用について研究している.最大正則性とは,古くから放物型方程式の解析に用いられている解析半群という枠組みと比べて強い性質であり,非線形方程式の解析において広く用いられている.本年度は,解析半群に関連する話題に着手し,いくつか成果を得ることができた.
まず取り扱ったのは,線形放物型方程式において解が有界となる場合に.有限要素法により誤差が時間発展に伴ってどの程度拡大するのか,という点について考察した.その結果,解析半群の枠組みで解析することで,誤差は拡大せず,有界な範囲に留まる,ということがわかった.
次に取り組んだのは,Allen-Cahn方程式と呼ばれる,ある種の界面の運動を記述する偏微分方程式に関する数値解析である.この問題は,界面の幅に対応するパラメータを持ち,そのパラメータに対して数値計算におけるメッシュのサイズを十分に小さく取らなければ,数値計算がうまくいかない,ということが経験的に知られていた.しかしながら,あまりに細かなメッシュでは,現実的な時間内での計算ができない可能性がある.そこで「どの程度までメッシュを粗くしてよいのか」という問題に取り組み,「これ以上メッシュを粗くした場合には計算がうまくいかない」という,ある種の必要条件を理論的に導いた.この成果も上述の成果と同様に,解析半群の枠組みによるものである.
最後に,不連続Galerkin法による時間離散化手法 (以下,DG法) について研究した.この手法は差分法のある種の一般化であることが知られており,移動境界問題の数値計算などに広く用いられている.本年度はDG法に現れるある有理関数に対する詳細な評価を計算した.その結果,誤差評価に関して,これまで知られていた評価よりも精密な誤差評価が得られるということがわかった.

Research Progress Status

29年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

29年度が最終年度であるため、記入しない。

  • Research Products

    (18 results)

All 2018 2017

All Journal Article (4 results) (of which Peer Reviewed: 4 results) Presentation (14 results) (of which Int'l Joint Research: 3 results,  Invited: 8 results)

  • [Journal Article] Numerical analysis of elastica with obstacle and adhesion effects2018

    • Author(s)
      Kemmochi Tomoya
    • Journal Title

      Applicable Analysis

      Volume: 印刷中 Pages: 印刷中

    • DOI

      10.1080/00036811.2017.1416100

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] On the finite element approximation for non-stationary saddle-point problems2018

    • Author(s)
      Kemmochi Tomoya
    • Journal Title

      Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics

      Volume: 印刷中 Pages: 印刷中

    • DOI

      10.1007/s13160-017-0293-5

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Energy dissipative numerical schemes for gradient flows of planar curves2017

    • Author(s)
      Kemmochi Tomoya
    • Journal Title

      BIT Numerical Mathematics

      Volume: 57 Pages: 991~1017

    • DOI

      10.1007/s10543-017-0685-6

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Discrete maximal regularity and the finite element method for parabolic equations2017

    • Author(s)
      Kemmochi Tomoya、Saito Norikazu
    • Journal Title

      Numerische Mathematik

      Volume: 138 Pages: 905~937

    • DOI

      10.1007/s00211-017-0929-z

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] 平面曲線の勾配流に対する構造保存的な数値解法2018

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      数学と現象 in 清里
    • Invited
  • [Presentation] 平面曲線に対する勾配流方程式の数値計算2018

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      不連続Galerkin有限要素法の数学理論とその周辺
    • Invited
  • [Presentation] 放物型方程式に対する有限要素法の$L^\infty$解析について2018

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      不連続Galerkin有限要素法の数学理論とその周辺
    • Invited
  • [Presentation] An analytic semigroup approach for DG time-stepping methods2018

    • Author(s)
      T. Kemmochi
    • Organizer
      Workshop on recent progresses in modern numerical analysis
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] DG time-stepping法に対する解析半群論的なアプローチ2018

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      日本数学会2018年度年会 (応用数学分科会)
  • [Presentation] 有限要素法の誤差解析2017

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      張研コロキウム
    • Invited
  • [Presentation] $L^\infty$-error estimates for the finite element method of parabolic problems on domains with smooth boundaries2017

    • Author(s)
      T. Kashiwabara, T. Kemmochi
    • Organizer
      The Third International Conference on Engineering and Computational Mathematics (ECM2017)
    • Int'l Joint Research
  • [Presentation] 平面曲線の勾配流に対する構造保存数値解法2017

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      東京大学情報理工学系研究科 3研輪講
    • Invited
  • [Presentation] Energy dissipative numerical schemes for gradient flows of planar curves2017

    • Author(s)
      T. Kemmochi
    • Organizer
      SIAM East Asian Section Conference 2017 (EASIAM2017)
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Allen-Cahn方程式に対する数値解の漸近挙動2017

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      日本応用数理学会2017年度年会
  • [Presentation] 放物型方程式に対する有限要素法の時間について一様な誤差評価2017

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      日本数学会2017年度秋季総合分科会 (応用数学分科会)
  • [Presentation] Allen-Cahn方程式の数値解に対する漸近的な誤差解析2017

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      RIMS研究集会「数値解析学の最前線 ---理論・方法・応用---」
    • Invited
  • [Presentation] 発展方程式に対する不連続Galerkin法による時間離散化について2017

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      応用数学フレッシュマンセミナー
  • [Presentation] DG time-stepping法に対する半群論的なアプローチ2017

    • Author(s)
      剱持智哉
    • Organizer
      2017年度応用数学合同研究集会

URL: 

Published: 2018-12-17  

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