2015 Fiscal Year Annual Research Report
ストリングトポロジーとゴールドマン・トゥラエフ・リー双代数の研究
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15J08790
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
内藤 貴仁 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(PD)
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| Project Period (FY) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| Keywords | ストリングトポロジー / ループ空間 / トゥラエフ・リー余代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、トゥラエフ・リー余代数のストリングトポロジーへの拡張に関する研究を行った。トゥラエフ・リー余代数とは、コンパクト連結有向曲面の自由ループのホモトピー類から生成される自由アーベル群上のリー余代数構造の事である。その拡張として、サリヴァンによって導入された自由ループ空間の相対ホモロジー上の余積があるが、サリヴァン自身はこの余積の正確な構成を与えていない。これに対し、以下の成果が得られた。
（１）私はまず、この余積のホモトピー論的な新たな構成方法を与えた。この構成がサリヴァンの余積として相応しいものかどうかを判断する１つの基準として、infinitesimal bialgebraの構造がある。つまりサリヴァンは、この余積が余可換かつ余結合的で、ループ席と呼ばれる代数構造に関して導分の関係にある事を主張している。これに対し、私の構成した余積が余可換かつ余結合的である事を示した。ループ積に関して導分である事は、研究中である。
（２）サリヴァンの余積の構成は他にもいくつかあるが、私の構成方法は具体的な計算を行う際に非常に有用である。実際、私は有理ホモトピー論、特にサリヴァン極小モデルを用いて、球面の有理数体上の余積構造を完全に決定した。サリヴァンの余積を（有理数体状に限るが）完全に決定した例は私の知る限りこれが初めてである。これにより、この余席が十分に非自明であることを明らかにした。また階数２以上のコンパクト連結リー群の余席は、有理数体状では自明である事もモデルを用いて明らかにした。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は、サリヴァンの余積の新たな構成やその性質、具体的計算例を得る事が出来た。この成果は、ストリングトポロジーの文脈でゴールドマン・トゥラエフ・リー双代数を捉える試みに対し有益なものであると思われ、研究は順調に進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、マグナス展開と呼ばれる自由群から、ある完備テンソル代数への性質の良い準同型に着目して研究を行う。特にマグナス展開とループ空間の余単体的モデルとの関連付けを行い、それらとストリングトポロジーの文脈にあらわれる代数構造との関係について考察を行っていく。
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