2015 Fiscal Year Annual Research Report
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15J09158
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
柴田 康介 東京大学, 数理科学研究科, 特別研究員(DC2)
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| Project Period (FY) |
2015-04-24 – 2017-03-31
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| Keywords | 代数幾何 / 特異点論 / 重複度 / 有理特異点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有理特異点を調べるために乗数イデアルと似た性質を持つω-乗数イデアルというものを定義し、この性質を調べた。2次元の有理特異点の時にいろいろな性質が成り立つことを発見した。
乗数イデアルで最も重要な定理の一つはSkoda の定理である。私は2 次元の局所環で有理特異点であるものに対してω-乗数イデアルのSkodaの定理が成り立つことを示した。またHunekeとSwanson が示した2次元正則局所環に対してのイデアルのコアと乗数イデアルの関係を私は有理特異点に拡張した。さらにω-乗数イデアルの劣加法性について調べ、ω-乗数イデアルの劣加法性による有理特異点の特徴付けを得た。そしてω-乗数イデアルの劣加法性を使ってイデアルのコアの劣加法性について調べ、イデアルのコアの劣加法性による有理特異点の特徴付けを得た。Favre, Jonsson, Lipmanと渡辺は2次元の正則局所環の整閉イデアルは乗数イデアルであることを示した。私は彼らの結果を有理特異点に拡張した。つまり2 次元局所環の有理特異点に対して全ての整閉イデアルはω-乗数イデアルであることを示した。
他のω-乗数イデアルの応用としてHunekeと渡辺が予想したDu Bois特異点の重複度の上限に関する予想を私は代数多様体が正規かつCohen-Macaulayのときに予想が正しいことがわかった。
また高次元でも成り立つイデアルのコアを使う別の有理特異点の特徴付けを探した結果、Cohen-Macaulay局所環で孤立特異点であるに対してイデアルのコアを用いて有理特異点の特徴付けを見つけた。これによりCohen-Macaulay 局所環で孤立特異点であるものが有理特異点であることとBriancon-Skoda定理が成り立つことは同値であることがわかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
今年度の研究期間中に、特異点を持つ代数多様体に対して今まで研究されてきた乗数イデアルと似たω-乗数イデアルというものを導入し、この性質について2次元のときに有理特異点との関係やイデアルのコアとの関係を発見することができた。この視点は特異点を研究する際に新たな視点を与えている。
またHunekeと渡辺が予想したDu Bois特異点の重複度の上限に関する予想に関しても正規かつCohen-Macaulayのときに予想が正しいことを証明した。
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| Strategy for Future Research Activity |
Hunekeと渡辺が予想したDu Bois特異点の重複度の上限に関する予想について考えたい。私は正規かつCohen-Macaulayの時、この予想が正しいことを示したのでCohen-Macaulayでないときにもこの予想が正しいことを示すことを目標とする。Cohen-Macaulayの時に証明できた理由の１つとしてはパラメーターイデアルが正則列になることからきている。Cohen-Macaulayでないときにはこの性質は成り立たないので何か別の方法で証明しなければならない。この問題を解決するためにDu Bois特異点の研究をする。また対応する正標数の環であるF-injectiveなものについての性質を考えることでこの問題にアプローチできないか考える。
2次元の時に関してはω-乗数イデアルはいい性質をたくさん持っていることがわかったので一般の次元でもω-乗数イデアルが乗数イデアルのようにいい性質をもつことを示そうとしている。目標としては乗数イデアルが持っているような性質をω-乗数イデアルがもっていることを証明したいと考えている。また正標数の環でω-乗数イデアルに対応しているparameter test idealについても研究知ることでω-乗数イデアルについて調べようと思っている。
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[Presentation] Core ideals and ω-multiplier ideals2015
Author(s)
柴田康介
Organizer
The 3rd Franco - Japanese - Vietnamese Symposium on Singularities,
Place of Presentation
Vietnam Academy of Science and Technology（Hanoi, Vietnam）
Year and Date
2015-11-30 – 2015-12-04
Int'l Joint Research / Invited
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