2016 Fiscal Year Annual Research Report
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15J10597
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
佐藤 光樹 東京工業大学, 大学院理工学研究科(理学系), 特別研究員(DC1)
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| Project Period (FY) |
2015-04-24 – 2018-03-31
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| Keywords | 結び目 / 4次元多様体 / Heegaard Floer ホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度の成果を踏まえ、本年度はHeegaard Floerホモロジー理論におけるd不変量を用いた本研究の課題解決に取り組んだ。しかし、d不変量の理論自体が発展途上であり、その応用は現状の理論では非常に困難であった。そこで、まず各種数の値が最小となる結び目に焦点を絞り、研究を進めた。また、d不変量の性質解明にも引き続き取り組んだ。その結果、以下の成果が得られた。
まず、昨年度得られた成果を洗練することにより、4次元球体内で位相的円板を張るような結び目で、全ての定値4次元多様体内でZ係数ホモロジー類が自明な可微分円板を張ることが出来ないものが無限に多く存在することを示した。本成果については、大島商船高等専門学校において講演依頼を受け、解説を行った。
また、結び目Floerホモロジーの情報量が少ない「平たい結び目」と呼ばれるクラスに着目し、結び目符号数が14以上の平たい結び目はg[CP2](K)=0とはなり得ないことを示した。これまで、平たい結び目の幾何的な性質はほとんど解明されていなかったため、幾何的不変量であるg[CP2]によって平たい結び目が特徴づけられることは大きな成果である。本成果については日本数学会本会における口頭発表で報告した。
d不変量の性質解明の成果としては、近年d不変量の研究のために導入されたVk系列およびν+不変量に注目し、その解明に取り組んだ。その結果、g[CP2](K)=0なる結び目について、そのVk系列が周期的に一致することを示し、それらの結び目に対するν+不変量の評価式が得られた。またこの応用として、一部のケーブル結び目について得られていたν+不変量の公式を、全てのケーブル結び目のν+不変量の評価式に拡張した。本成果は、電気通信大学で開催された国際集会「Differential topology 17」おいて発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
本年度は研究課題である種数の有界性の決定には至らなかったが、種数が最小、すなわち円板を張る結び目の研究としては著しい成果が得られた。特に、定値4次元多様体に関する研究成果は4次元トポロジーの位相構造と可微分構造の異質性を示し、また平たい結び目に関する研究成果は結び目Floerホモロジーの研究に貢献しているなど、低次元トポロジーにおける重要課題の各方面に貢献を果たしている。
また、Vk系列の性質解明など、Heegaard Floerホモロジー理論の発展にも直接寄与している点も、本研究計画当初では予見されなかった成果である。特に、4次元多様体内の曲面を用いるという本研究の視点はHeegaard Floerホモロジー理論の研究として極めて独創的であり、当該分野にインパクトを与えている。
これらの経緯を踏まえて、本研究は当初の計画以上に進展していると評価した。
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| Strategy for Future Research Activity |
来年度の研究では、g[CP2](K)=0の場合について見出したV_k系列の規則性について詳しく研究することにより、本研究の課題解決を試みる。より具体的には、まずg[CP2](K)の条件をγ[CP2](K)およびg[nCP2](K)に拡張し、その場合の規則性の変化を観察する。そこから、さらに任意の自然数nに対して、γ[CP2](K)=nおよびg[nCP2](K)=nの規則性を調べる。g[CP2](K)=0の場合はV_k系列の値が周期的に一致したが、γ[CP2](K)=nおよびg[nCP2](K)=nに拡張した場合には、V_k系列のとりうる値が周期的に有限の範囲内に収まるという事が見込まれる。
これが確かめられれば、V_k系列の値が発散するような結び目の列を用いて、γ[CP2](K)およびg[nCP2](K)の非有界性を証明することができる。さらに、これらの議論を洗練することで、γ[nCP2](K)についてもその非有界性を証明する。
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Research Products
(6 results)
