2016 Fiscal Year Research-status Report
計算論的ラムゼー理論の開発を通じたNP困難性の拡張
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15K00006
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| Research Institution | Gunma University |
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Principal Investigator |
天野 一幸 群馬大学, 大学院理工学府, 教授 (30282031)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 論理関数 / 計算量 / しきい値回路 / 下界 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目標は，計算困難な離散数学的問題等に対し，その解空間構造の解析等を通じて困難性を明らかにするとともに，これを用いて新たな計算困難性の解析手法を開発することである．今年度は，特にしきい値素子回路における論理関数の計算過程の解明，および，論理関数における各種尺度の計算機実験を通じた詳細な解析に重点をおき研究を行った．本年度得られた主な結果は以下の通りである．
１．多項式しきい値関数と呼ばれる，しきい値素子とＸＯＲ素子からなる２層の論理回路において，与えられた論理関数と，そのｋ個の直積で定義される論理関数の複雑さの関係について検討を行った．その結果，後者の構成に対しては，前者から得られる自明な構成に対して指数関数的に改善する例があることを示す結果が得られた．本結果の一部は，前年度末に国際会議において発表したものであるが，更に検討を進めることで，この現象が，線形計画の双対性により，より簡潔に説明できることが明らかとなった．この結果をとりまとめ，国際論文誌に投稿を行った．
２．論理関数の計算困難性を表すとされる尺度には，感受度，決定木深さ，実多項式次数等さまざまなものが研究されている．これらの尺度の間の関係について，これまで知られているものより厳密な関係式を得ることを目指した．具体的には，計算機による大規模な計算を通じで，感受度が３以下の論理関数全ての列挙に初めて成功した．また，得られた全ての関数群について，上記の尺度を計算することで，従来知られる最大ギャップに等しいギャップを持つ，新たな関数群を得ることができた．この結果は，国際会議ＩＳＩＴに採択され，平成２９年夏に発表することが確定している．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前年度から引続き行っている，多項式しきい値表現に関する研究，および，今年度から行った論理関数の尺度に関する研究において，新たな結果を得ることができ，また，今後の展開につながる興味深いデータも得られているため，本研究はおおむね順調に進展しているものと判断する．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は，主に以下に示す二点について重点的に研究を進める．
一点目は，これまでに得られた多項式しきい値回路に関する結果を，特にその層の数の観点から拡張し，多層しきい値回路の計算能力に対する知見を得ることを目指す．この計算モデルは，特に近年，深層学習の成功によって非常な注目を集めているモデルである．特に，このようなしきい値回路における，層数，および，素子数と，その計算能力の間にどのようなトレードオフがあるのかについて解明することを目標として研究を進める．計算機による大規模な実験と，その結果に対する深い考察の繰り返しから，新たな計算量評価手法の理論的枠組みの構築を目指すものとする．
二点目は，今年度行った論理関数の様々な尺度の解析をより深化させ，これら尺度と計算困難性の間に潜む関係を明らかにすることを目指す．特に，様々な尺度の分離問題を，適当な数理計画問題等に帰着させ，得られた問題に対する計算機を積極的に用いた解析を通じて新たな知見を得ることを目指す．また，計算困難な問題に対する困難性の核ともいうべき組み合わせ論的性質を抽出し，計算困難性に対する新たな数学的定式化を構築することを目指す．
得られた結果は順次論文としてまとめ，関連する研究会，および，国際会議等で積極的に発表する．また，本研究の効果的な遂行に必要な最適化理論等についての最新技術の獲得のため，隣接分野の研究会等にも積極的に参加し，本研究の成果の最大化を目指す．
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| Causes of Carryover |
今年度の研究成果を発表する国際会議の開催時期が次年度に回ったため，今年度の海外旅費に未使用額が生じた．また，計算機実験において，当該研究課題とは異なる予算によって購入した計算機の効果的な使用により，物品費に一部未使用額が生じた．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
旅費における未使用額は，従来計画に加えて，既に採択済みの国際会議での発表に関する旅費，および，会議参加費に充てる．物品費における未使用額は，主に，より高性能な計算機の購入，および，現在使用中の計算機のメモリや演算装置の増強に充てる．
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