2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K00024
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| Research Institution | Tokyo Denki University |
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Principal Investigator |
近藤 通朗 東京電機大学, 情報環境学部, 教授 (40211916)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | state 演算子 / state / 非可換剰余束 / derivation |
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| Outline of Annual Research Achievements |
これまでの研究で可換な剰余束Xにおいて，state s が存在すればその核ker(s)はfilterとなり，filterとcongrueneが一対一に対応することからker(s)に対応するconguruenceによる商集合 X/ker(s) が常に可換なMV-代数になることを証明した．この証明を詳細に検討することで，この結果はさらに非可換な剰余束にまで拡張できることがわかった．さらにstateを考察する代数の言語に入れて，代数系とその上のstate演算子との組み合わせとして考察することを行い，これに関していくつかの結果を得た．すなわち，state 演算子を持つ非可換剰余束を考え，この代数系の性質を調べた．state演算子を持つ非可換剰余束の研究はまだその端緒についたばかりなので先行する研究が少なく，state演算子を持つ非可換剰余束の定義およびそれから得られる基本的な性質しかまだわかっていない．本研究ではこれまでに得られていた非可換剰余束におけるstate 演算子の定義を詳細に検討に，いくつかの条件が不要であること，さらにより弱い条件で置き換えても，これまでに得られていた性質がそのままの形で成り立つことを証明した．これを「Generalized state operators on residuated lattices」という表題で学術雑誌Soft Computing（Springer)に発表した．stateを内的な言語に含めることで，様相記号のように取り扱うことが可能となり，さらなる発展--代数系における準同型定理や環論におけるderivation演算，位相空間との関連など--が期待でき，予想していない非常に興味ある結果が得られる可能性が高い．これらについても先行研究はほとんどないため，得られた基本的な結果がそのまま学術雑誌に発表できるように思われる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非可換剰余束におけるstateの研究を行っている．具体的には，非可換剰余束のstateによる商集合が可換なMV-代数になることの証明をもとに，stateとよばれる代数系から閉区間[0,1]への写像（確率測度に類似）の持つ性質を,代数の言語にstate演算子として最初から内的言語として入れ，その性質を調べている．このように演算子として言語に導入することで，様相論理記号に似た扱いができ，さらなる発展が期待できることがわかった．stateを写像ではなく演算子として考察する場合，次のような問題が自然に考えられる．例えば，MV-代数（BL代数，MTL代数など）は線型のMV-代数（BL代数，MTL代数など）のsubdirect productに同型であるため，MV-代数（BL代数，MTL代数など）の性質を調べるには，線型のMV-代数（BL代数，MTL代数など）の性質を調べることに帰着できる．ではstate演算子を持つMV-代数（BL代数，MTL代数など）については同様な結果は得られるのか？また，そうであればstate演算子を持つ線型のMV-代数（BL代数，MTL代数など）の基本的な性質はどのようなものか？などである．これについては今後の研究を進める際の指針となり，研究課題の広がりが予想できる．
さらに，演算子として導入することで，演算子による準同型定理に類似した結果を得ること，また，（非可換）剰余束のfilterに対応する合同関係がstate演算子を持つ（非可換）剰余束におけるfilterやそれに対応する合同関係を考察すること，この代数系の位相的性質を調べることなど多くの発展が考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
本年6月に2年ごとに開催される国際会議（TACL2017）への論文が採択され，そこで研究発表を行うとともに参加する大勢の研究者との研究課題に関する討論および情報交換を通して，今後の研究活動の主要な部分と位置づけたい．国際会議での発表内容は，上述したように，stateを演算子としてとらえることで様々な研究分野への広がりがあるが，その一つである剰余束上でのderivationの性質に関するものである．これまでの研究で，束におけるderivationに関するいくつかの結果について見通しの良い証明を与えたが，それを剰余束にまで拡張したものである．この結果については，「Derivations of commutative residuated lattices」という題目で学術雑誌へ投稿中である．今後もこれまで通り，研究会（特に国際会議）での積極的な発表，国内外の研究者との研究打合せ，および論文としての発表を中心に研究を遂行する．
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| Causes of Carryover |
体調を崩し入院したため，予定していた国際会議への参加ができなかった．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度は体調も戻り積極的に国際会議や国内の研究会での発表を行う．より具体的には，6月プラハ（チェコ）で開催される国際会議TACL2017での研究発表，および夏期あるいは冬期にフィンランドの研究者との研究打合せを行う予定である．さらには来年2月にブラチスラバ（（スロバキア）で開催される国際会議AAA95での研究発表も考えている．
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