2016 Fiscal Year Research-status Report
錐最適化理論を用いた種別構成問題に対する効率的な計算手法の構築
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15K00032
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
山下 真 東京工業大学, 情報理工学院, 准教授 (20386824)
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2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 応用数学 / 数理最適化 / 錐最適化理論 / 種別構成問題 / 畜産学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
種別構成問題は、多品目の中から利益が最大になるように一定数の品目を選抜する問題であり、金融工学におけるポートフォリオ選択や林学における樹木園構成遺伝子の選択などに用いることができる。本研究では、特に制約が線形制約・二次錐制約で構成される錐制約と、一定数の品目を表現する整数制約の両方が付加された数理最適化問題に対する効率的な計算手法の構築を行う。今年度は、本研究の２年目にあたり、主に以下の4点を行なった。
[1] 国際会議 ICCOPT 2016で、二次錐計画問題による樹木園構成問題に対する定式化について発表を行った。この定式化を用いると、従来の定式化で必要となっていた計算時間のおよそ数千分の１程度の短い時間で計算可能である。
[2] 一定数品目を表現する整数制約の条件を取り込んだヒューリスティクスについて、計算効率を改善した。また、線形緩和、二次錐緩和、半正定値緩和など錐最適化理論に基づく緩和手法について、理論的な側面にあわせて数値実験による比較も行い、二次錐緩和の有益性を確認した。この内容について、国際ワークショップで発表を行い、学術雑誌への投稿を行った。
[3] 非線形制約である二次錐制約を線形制約である多面体により近似した場合に、多面体制約と整数制約で構成させる緩和問題を構築した。また、この緩和問題を用いた数値実験により、ソフトウェア OPSEL に組み込まれていた既存手法よりも優れた解を得られることを示した。
[4] 錐最適化問題を効率的な計算手法として主双対内点法があるが、種別構成性問題を短時間で求解するには、途中に現れる錐最適化問題をいかに短時間で解くか、が重要である。今年度は内点法の一種であるarc-search 型内点法について、理論的解析を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
[1] 整数制約を付加した場合のヒューリスティクスを、樹木園構成問題の様々な数値例に対して実行し、それらの結果をヒューリスティクスの改良に用いた。特に、ヒューリスティクス内部において錐制約をどのように扱うかを決定するパラメータを入力数値により自動的に算出する方法を構築した。これにより、多くの数値例に対して従来よりも安定して解を得られるようになった。特に品目数が多いような大規模な入力データについて、計算時間短縮なども含めて高い効果があった。
[2] 整数制約を付加した場合に解を得る手法としては、切除平面の追加を繰り返す反復計算手法が既にあり、この手法を用いれば理論的には厳密な解を得られることが分かっていたが、計算時間が膨大となるために実用時間では良好な近似解を得ることも困難であった。本研究で用いた多面体近似では、どの程度の近似解を得たいのか、という近似精度を予め与えたうえで計算するため、従来手法と比較すると扱いの容易な近似解を得やすいという利点があることが分かった。
[3] 一般の二次錐への射影計算は解析的に式が与えられないため、反復計算を適用する必要があった。射影に基づく切除平面の追加を繰り返す手法では実質的には２重ループを構築することとなり、数値誤差の蓄積が起こりやすく、数値的安定性という観点では好ましくない影響があった。本研究では、一般の二次錐を複数の特殊な二次錐に分解することによって、射影に基づく切除平面を解析的に与える方法を構築した。この計算手法については、どの程度の性能になるか確認する数値実験をまだ行っていないため、数値実験を行う必要がある。
以上のように、[1],[2] は比較的順調に進んでおり、[3] は数値実験が必要ではあるが、全体としては「おおむね順調に推移している」と判断をした。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の計画として、主に以下の3点を挙げる。
[1] これまでに構築をしたヒューリスティクスについて、2017年5月に開催予定の国際会議 SIAM Optimization 2017 で発表を行う。この国際会議の発表における質疑応答などをふまえて、より安定した性能が出せるように錐最適化理論の視点から更に改良を施す。
[2] 二次錐を分解した場合の射影計算を解析的に与える計算手法については、数値実験を行い、その性能を確認し、学術雑誌への論文の投稿を行う。また、これまでに計算手法を構築してきた多面体近似と二次錐分解に基づく射影計算を組み合わせることも行う。特に樹木園種別構成問題では、二次錐制約に現れる係数行列が特殊な構造を利用しており、品種間の親子情報と一定の対応関係が含まれている。一般に、多面体近似計算では、多面体を構成する線形制約の数が多くなると著しく計算時間が長くなる傾向があり、線形制約の数の抑制が重要である。品種間の親子情報に関する対応関係を計算に組み込むことで、近似精度に強い影響を与える線形制約を特定し、それらを優先的に計算に活用することで全体の線形制約の数を抑える計算を実装する方針である。二次錐の分解は、これらの線形制約の数を抑えるうえでも相乗効果があると見込んでいる。なお、これらの数値実験においては、既存手法との比較において長時間の計算時間が必要となるため、数値計算用のサーバーを利用して行うこととする。
[3] ヒューリスティクスおよび二次錐分解による射影の計算手法をソフトウェア OPSEL に実装する。あわせて、ユーザマニュアルの充実を図るなど、多くのユーザが利用できるように環境を整える。
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| Causes of Carryover |
本年度は、国際学会参加にかかる旅費などが想定よりも抑えられたため、その分を平成２９年度に繰り越して利用する。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成２９年度は、研究成果の学術雑誌への投稿を検討しており、その投稿費用などに充てるなど、活用していくことを考えている。
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Research Products
(6 results)
