2017 Fiscal Year Annual Research Report

Arithmetic Study of Calabi-Yau threefolds

Research Project

Project/Area Number	15K04771
Research Institution	Hokkaido University of Education
Principal Investigator	後藤泰宏北海道教育大学, 教育学部, 教授 (40312425)
Project Period (FY)	2015-04-01 – 2018-03-31
Keywords	3次元カラビ・ヤウ多様体 / 形式群 / 数論幾何 / デルサルト型多様体 / ミラー対称 / 国際研究者交流
Outline of Annual Research Achievements	本研究の目的は、3次元カラビ・ヤウ多様体を正標数の体上で考え、その形式群などの特徴を調べることである。研究対象は、Borcea-Voisin型多様体とその一般化、及び3次元重さ付きデルサルト型多様体とその変形である。それらの多様体について、形式群の高さのデータを集めるとともに、形式群の高さと多様体の自己同型群との関係性やミラー対称性との関連について調べた。また、カラビ・ヤウ多様体の形式群の高さとホッジ数との相関についても考察した。研究最終年度の本年は、形式群とミラー対称性の関係について考察し、ミラー対称な特別な場合のカラビ・ヤウ多様体において、形式群の高さとホッジ数との相関について評価した。前年度までの考察において形式群の高さ以外に（現時点で）分析可能な数量を見つけることができなかったので、当初の計画通り、ミラー対称性を持つ3次元カラビ・ヤウ多様体の形式群の高さの特徴を探ることとした。計算ソフトMagmaを用いてデルサルト型多様体の形式群の高さを計算した結果、大きな高さを持つ形式群が現れる頻度が低いこと、多様体の定義式の対称性が比較的小さくても大きな高さを持つ形式群が現れるとは限らないことなどがわかった。これらの結果は当初の予想と異なるものであるため新たな研究課題となった。研究期間全体を通しての結果としては、上記以外にBorcea-Voisin型多様体の形式群の高さの評価や、3次元カラビ・ヤウ多様体をつくる際に現れる例外因子を用いた高さの評価がある。それらの結果はカラビ・ヤウ多様体の形式群の高さとホッジ数との関係性を測る上で重要である。また、計算機実験を通して形式群の高さの具体的なデータを多数得たことは、形式群の事例研究として意義がある。以上の結果について、平成29年度は国外（カナダ）で1回の成果発表を行い、1本の論文を準備中である。