2018 Fiscal Year Research-status Report
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15K04777
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
佐々木 洋城 信州大学, 学術研究院教育学系, 教授 (60142684)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 有限群 / ブロック・イデアル / デフェクト群 / ソース多元環 / コホモロジー環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究代表者は、有限群のブロック・イデアルのコホモロジー環がデフェクト群のコホモロジー環のソース多元環で定められる写像で決定されると予想している。そのコホモロジー環の写像はソース多元環の直既約両側加群への直和分解によって記述される。しかし、その直和因子の可能性や重複度については決定的な理論は得られていない。2018年3月に出版された研究協力者の奥山氏との共著の論文は重要な成果である。すなわち、bが有限群Gのブロック・イデアルでPをそのデフェクト群とするとき、Gに属する元gがPのブロック・イデアルbについて本質的な部分群とその群から定められるブロック・イデアルの惰性群の中の特別な位置にあるとき、gで生成される両側加群k[PgP]はbのソース多元環Aの直和因子で、その重複度は1+pの倍数である。この定理により、tame表現型のブロック・イデアルやデフェクト群がエクストラスペシャル群の場合に予想が確認された。
2018年度は、研究代表者によって2014年に得られていた成果を改良した。すなわち、G、b、P、Aを上と同様とするとき、Gに属する元gがICC条件とよぶある条件を満たしさらにPとPのgによる共役部分群の共通部分についてある条件がみたされるとき両側加群k[PgP]はAの直和因子である。この定理を用いてPがリース2群である場合にAの加群構造の解明が進んだ。これは研究代表者によってすでに得られていたこの場合のブロック・イデアルのコホモロジー環をつくるPのコホモロジー環の写像がAから得られるものであることが確からしいことを示す。
また、Brauer準同型の核の考察により、一般に、ブロック・イデアルの直和因子の相対射影性についての新たな知見が得られた。これにより、Pがエクストラスペシャル群の場合にAの直和因子の重複度についての公式をさらに詳しく解析することができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
いくつかの具体的なブロック・イデアルについてすでに得られていたブロック・イデアルのコホモロジー環を生成する写像がソース多元環から得られるものであることの証明が完成しつつある。一般的な解決には至っていないが、課題の困難さを鑑みれば、一歩ずつ具体的な検証を進めるなかで理論的な課題を掘り出し解決の道筋を探すという方法は有力な方法である。また、この過程で、重複度について知見が得られたことは興味深い。
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| Strategy for Future Research Activity |
ブロック・イデアルのソース多元環の直既約直和因子の重複度についての考察を進め、デフェクト群がリース2群である場合の研究を完成させる。さらに、ブロック・イデアルの超焦点部分群、超焦点多元環とよばれるものに条件をつけて予想を考察していく。
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| Causes of Carryover |
体調不良などにより、予定通り出張できなかったため次年度使用額が生じた。次年度において研究連絡のための出張に使用する予定。
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