2019 Fiscal Year Annual Research Report
Cohomology theory of finite groups
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15K04777
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| Research Institution | Shinshu University |
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Principal Investigator |
佐々木 洋城 信州大学, 学術研究院教育学系, 教授 (60142684)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 有限群 / ブロック・イデアル / コホモロジー環 / デフェクト群 / ソース多元環 / 部分対 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有限群のブロック・イデアルのコホモロジー環を記述する一つの方法として、デフェクト群のコホモロジー環からのある写像の像として得られるということを証明するのが目標であった。その写像とはブロック・イデアルのソース多元環から自然に引き起こすものである。ブロック・イデアルのソース多元環はモデュラー表現論の中心的研究素材である。
ブロック・イデアルのコホモロジー環は部分対の融合に基づいていて、その取り扱いは困難である。そのため、研究代表者らはブロック・イデアルがテイム表現型とよばれる場合、デフェクト群がリース2群である場合にそのコホモロジー環を計算し、デフェクト群のコホモロジー環からの写像でその像がブロック・イデアルのコホモロジー環となるものを構成した。しかし、その写像とソース多元環との関係は不明であった。
本研究では、デフェクト群がエクトラスペシャルp-群（pは3以上の素数）である場合にも上記の場合のような写像を構成した。テイム表現型とエクストラスペシャル群がデフェクト群であるブロック・イデアルについて、研究代表者が構成した写像がソース多元環が引き起こすものと一致することが確認された。その過程ではソース多元環の加群構造の解明が不可欠であって、新たな知見を加えた。この知見は有限群のモデュラー表現論自体にとっても重要である。デフェクト群がリース2-群である場合には研究代表者の構成した写像はソース多元環の直和因子によって引き起こされるものであることがわかった。
最終年度ではデフェクト群がエクストラスペシャル群の場合のソース多元環の加群構造をさらに解析し、ある多元環上の加群としての基底を与えた。また、部分対の包含関係の定義はやや複雑であったが、これを部分対によって定められる加群の関係によって記述できることを示た。
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