2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K04778
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
谷川 好男 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (50109261)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | Tong型公式 / 短区間平均値定理 / 数論的誤差項の符号変化 / shifted convolusion / 近似関数等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成24～26年度に受けた科研費研究課題「ゼータ関数の解析的挙動の研究と,その数論的誤差項への応用」において, 私は海外研究協力者とともに, 数論的誤差項の Tong型 truncated formula を導き, 非対称多次元約数問題に対して効果的に応用した．平成27年度はさらに数論的誤差項の短区間平均値定理への応用を試みた．短区間平均値定理に対しては, 従来 Voronoi 公式が唯一の道具であったが，我々の Tong型 truncated formula は, Voronoi 公式における誤差項をいくつかの積分で表示したものであるため，より詳しく解析できるという利点がある．その結果，先行研究の結果の改良や，３次元約数関数 d_3(n) に対応する数論的誤差項の符号変化に対しても，Heath-BrownとTsang がディリクレの約数問題の場合に対して得たものと類似の結果を得ることができた．
更に平成27年度には, リーマンゼータ関数の微分の２乗の近似関数等式の研究に着手した．この近似関数等式は, Hall が Hardy 関数の微分の４乗平均のために研究したものであるが，その誤差項には (x+y)/t の 1/4 乗という項があり評価としてやや不十分であった．そのことは Hall 自身が彼の論文の中でコメントしている. この因子を取り除くことが当研究の目的の一つであったが，私は連携研究者とともにこの問題に取り組み，これを取り除くことに成功した,
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成27年度の研究計画は, (1) Tong型 truncated formula を数論的誤差項の短区間平均値定理に応用し，d_3(n)に対する shifted convolutionのより良い評価を得ること，またその総和から生じる数論的誤差項の符号変化を調べること, (2) 連携研究者とともに, リーマンゼータ関数の微分の２乗の近似関数等式を進展させることであった．両者ともにほぼ計画通りに遂行できたことがその理由である．特に(1)では海外研究協力者との共著論文が International J. Number Theory に受理され，2016年に出版されることが決まっているし，(2)についても現在論文を執筆中である．
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| Strategy for Future Research Activity |
Tong の原論文でもそうであるが，Tong型 truncated formula を適用するには, そのディリクレ級数の２乗平均に関してある種の条件が必要である．これがこの公式の適用範囲を制限している大きな理由である．その制約を取り去り，critical line である s=1/2+it 上での２乗平均を用いた形に変形するのが，平成28年度の目的である．これによって Tong型 truncated formula をより広い範囲のディリクレ級数に応用できるようになる. また評価自体も微妙に異なるものが得られると思われ，再度短区間平均値定理などに適用して，両者の結果を比較検討したい．
近似関数等式に関して, Hall はリーマンゼータ関数の微分の２乗だけでなく, 他にも２つの場合を考察している．それはやや複雑ではあるが，連携研究者とともにこれらの場合も考察し, その近似関数等式を Hall が得ている結果の誤差項を改良した形で完成させる予定である．
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| Causes of Carryover |
次年度使用額として214309円が生じた. これは, 計画当初は数論的関数の短区間平均値定理の共同研究のため，北京に Cao, Zhai の両氏を訪れるために使用する予定であったものを，Zhai 氏が補助してくれたためである．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
今年度も, 研究予定で述べた研究を遂行するために,８月後半に北京に Cao, Zhai 氏を訪れ議論をするとともに論文作成に取り掛かる計画である．また年度の終わりには彼らを招待することを計画しているが，これらのことに有効に使用したい．
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