2015 Fiscal Year Research-status Report
ゼータ正規化積の視点から見たグラフ上の調和解析とその極限操作
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15K04785
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| Research Institution | Ehime University |
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Principal Investigator |
山崎 義徳 愛媛大学, 理工学研究科, 准教授 (00533035)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | ゼータ関数 / ラマヌジャングラフ / 素測地線定理 / 超幾何関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は、まず最初にこれまでの継続研究として、Ramanujan Cayley グラフに対する研究を行った。本研究で考えている問題は、有限群の族を一つ与えたときに、それらの Cayley グラフで完全グラフに近いものがどこまで Ramanujan グラフであり続けるかという問題である。これまでに、巡回群、二面体群と群の構造が易しい順にこの問題に取り組んできたが、今回は一般四元数群に対して同様の問題を考え、やはり今回もその境界の決定には Hardy-Littlewood 予想と呼ばれる解析数論の重要な問題が関係することを明らかにした。以上の結果については愛媛大学の平野幹氏と堅田晃平氏との共同研究であり、現在論文作成中である。
また、離散トーラスに対する素測地線定理の研究も並行して行った。離散トーラスとは、巡回群の直積に対するある Cayley グラフのことであり、それは自然に実トーラスの離散化とみなせる。このグラフに対して、ラプラシアンのスペクトルゼータ関数についての解析的な性質を考察し、さらに Chinta-Jorgenson-Karlsson による熱核の理論を用いることで、素測地線の個数に関する漸近ではない明示公式を導いた。それは「Jacobi 多項式のある一般化 (Lauricella の多変数超幾何多項式のある特殊化で書ける) の有限和」という形で記述される。以上の結果について、論文にまとめて投稿した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今回考察した一般四元数群は、二面体群のように二つの群の半直積では表せないことが知られているので、今回の結果によって、Ramanujan Cayley グラフに対する我々の研究における考察の対象となり得る群のクラスが大いに広がる可能性があることが分かった。また、一部二面体群の場合と同様の議論を適用できるところがあることも確認できたので、今回の結果によって本研究の研究手法は確立されつつあると言える。
また、離散トーラスに対する素測地線定理については、結果を論文にまとめて投稿することができた。その作業の中で、新たな問題点を見つけることができたし、いくつかの予想を立てることもできたので、それらについては今後の課題として継続研究を行う予定である。
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| Strategy for Future Research Activity |
Ramanunjan Cayley グラフの研究については、まずは一般四元数群の場合の結果について、早急に論文を完成させて投稿する。また今回の研究によって、既約表現の次元が小さいものしか持たないような群に対しては同様の議論ができると期待できるので、そのような群がどれぐらいあるか調査し、それらに対して同様の問題を考察する。
また、離散トーラスに対する素測地線定理については、その細分化の可能性について考察する。すなわち、上記公式において、有限和の各項がしかるべき閉路を数えている可能性があることを数値実験によって確認することができたので、それについて証明を与えることを試みる。そのためには、頂点や辺に重さをつけて一般化された Ihara ゼータ関数が役に立つと期待される。
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