2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K04787
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| Research Institution | Kagoshima University |
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Principal Investigator |
山内 卓也 鹿児島大学, 法文教育学域教育学系, 准教授 (90432707)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 法pジーゲル形式 / テータ作用素 / ガロア表現 / アーサーセルバーグ跡公式 / 等分布定理 / ヘッケ体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は先ず去年から行っていた正標数体上の次数2のジーゲル保型形式の重さをガロア表現を通して還元することを取り組み重さをパラメータ付けしている2個の正整数の組の内大きな法を標数の言葉で上から抑えることに成功した。
その後、ガロア表現の応用を見越して、ジーゲル形式の保型形式から定まるヘッケ体と呼ばれる代数拡大の挙動を保型形式の重さやレベルを動かして調べた。その手法としてアーサーセルバーグ跡公式が適用できるというのは専門家での間では周知だったのでそれに習い、跡公式を代数群がGSp4の場合に適用して計算した。これは、トロント大学のHenry Kim 教授と金沢大の若槻氏との共同研究である。我々の設定では正則保型形式を考えているために無限素点での擬係数の選択によりアーサーセルバーグ跡公式の対称性が崩れてしまい、跡公式に寄与する最も難しいユニポテント寄与を計算しなくてはならなかった。これは幾何サイドの困難であるが、スペクトルサイドでも調べることが多く、擬係数が拾ってくる正則だがコホモロジカルない形式の次元の評価も必要であった。結果としてそのような形式はKlingen type CAP形式であることが証明され、テータリフトを勘定することで正確な次元公式を得た。出てくる項を我々の設定で具体的に書き下して明示的に評価式を与え、最終的なヘッケ作用素の固有値の等分布性を導くことに成功した。この結果からヘッケ体の等分布性や保型形式のスピノールＬ関数や標準Ｌ関数に対するLow lying zeros の挙動に関する結果も得ることができた。
この研究後は再び正標数体上の次数2のジーゲル保型形式の重さ還元問題に取り組み懸案だった、もう片方の重さも標数の4次多項式の言葉で抑えることに成功した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
懸案だった重さ還元定理の証明を実行する前に、正標数体上の次数2のジーゲルモジュラー多様体のエッケダール・オールト階層にオールトが定義した部分ハッセ不変量を詳細に調べ事が大きな理由である。階層のザリスキ閉方上への部分ハッセ不変量の延長を詳細に考察したことが大きかったと思われる。このことにより、ハッセ不変量の境界での振舞いが完全に計算でき、それを用いて、保型層の各階層への制限がいつ全射になるかどの十分条件を手に入れることができた。これと既に研究済みの超特異軌道上での超特異ジーゲル形式の重さを考察することで、重さ還元定理を証明することができたので、いろいろと良い状況が揃ったのだと考えている。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究は、先ず第一に既に得た次数２のジーゲル形式に対する重さ還元定理の改良である。というのも、重さは有限個の場合に絞れたものの標数に比べて非常に多いのである。これは周辺研究者にとっても不満な事であるようなので、重さに対応する正整数の小さい方の部分を標数足す1以下に抑えることを別のハッセ不変量の亜種などを考えるなどして考察する。それと同時に、ピカール形式やヒルベルトモジュラー形式の場合にも同様の重さ還元定理を証明する。特に実2次体の場合、ヒルベルトモジュラー形式の重さ還元定理はガロア表現側でほしい性質とを鑑みて応用上十分に満足のいく結果が得られるのではないかと期待している。
その後はジーゲル形式に付随するp進表現の法p還元を計算するらめに高次元の場合の正ホッジ理論を用いた計算手法を整備することを試みる。
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