2017 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
15K04787
|
|---|
| Research Institution | Tohoku University |
|---|
Principal Investigator |
山内 卓也 東北大学, 理学研究科, 准教授 (90432707)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
|
| Keywords | ガロア表現 / ジーゲル形式 / テータ作用素 / テータサイクル |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は先ず一般次数の法pジーゲル保型形式に対して微分作用素を如何にして構成するかを研究した。階数gの斜交群に対するジーゲル多様体の幾何と次数gの一般線形群GLgの代数的モジュラー表現のテンソル積の具体的な分解を用いて計画通り計算を遂行した。テンソル積の分解は古典的には最高重さで記述されるピエリ分解を具体的に書き下すことに他ならないのであるがわれわれの設定は正標数であるため完全可約性が成り立たないことが困難な点であった。そこでBocherer-Nagaokaの構成したRamanujan 微分作用素の一般化を幾何的に構成することを最初の目的としこれを実行した。計算の鍵となったのは次元gの2次対称表現のg次対称表現の中に標準的な階数1の判別式表現の2乗が直和因子として入っていることを証明しそれを具体的に与えられた対称子で切り出してくることであった。これによりBocherer-Nagaokaの構成したRamanujan 微分作用素の像の幾何的な挙動, 超特異軌道への制限の振る舞いを解析することに成功した。
続いて階数2の場合にこれまでに調べていたテータサイクルを見直しガロア表現の保型性と合うテータサイクルの存在を調べた。その結果、ジーゲル形式の重さをk1,k2とする場合その差が0,1の場合に限って長さが(p-1)/2のテータサイクルを構成することができそれ以外の場合は長さp-1のテータサイクルが構成できることを示した。さらにこのテータサイクルを用いて法pガロア表現の局所ガロアタイプから古典的なセール重さを定義し, 保型的な法pガロア表現がp通常, テイラーワイルス条件を満たすような設定下において実際にそのセール重さを実現する保型形式を取ってくることができることを証明した。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
次数gの一般線形群GLgの代数的モジュラー表現を二つ与えたときそれらのテンソル積の分解を記述することは一般には難しく、この計算を具体的に実行するのに思いの外時間がかかったことにある。この計算が実行されない限り当該研究の鍵となるテータ作用素を定義することができない。従って本研究の要となる計算に予想以上の時間がかかっており次数gが低い場合やある良い状況を除いて一般のgに対してはっきりとした計算の見通しはついてなかったのが理由でもある。
|
| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究は先ず階数が2の場合の斜交群の場合に古典的なセール重さを与えられたガロア表現の局所ガロア型から定義することを行う。そしてガロア表現が保型的であるときに保型性持ち上げ定理を用いて定義した古典的セール重さを持つ保型形式の存在を証明する。前回の研究ではガロア表現がp通常、像が良い状況であるなど制約が付いていたがこの過程を外すことも同時に行う。課題は保型性持ち上げ定理をp通常以外にも半p通常の場合にも拡張する必要がある。さらに与えられた局所ガロア型をもつクリスタリン持ち上げの存在も同時に証明する必要があるためこれらを実行する。保型性持ち上げの方は肥田族を用いて肥田の変形環に対するR=T型定理を証明する方策をとる。またクリスタリン持ち上げの存在は、拡大類の分岐が激しい場合が本質的でありこの場合はKhare-Wintenbergerの変形環を調べる手法を用いて解析を進める。
一般の次数の場合にも同様にこと実行する前にテータ作用素をJantzenのモジュラー表現の一連の研究を用いて系統的に構成し保型性問題に見合う形でテータサイクルを定式化することを行う。
斜交群以外の場合の階数の低い群であるユニタリ群U(2,1)やGL2/実二次体の場合にテータ作用素およびテータサイクルを解析し与えられたガロア表現の局所ガロア型から対応すべき古典的重さを定義し実際に保型性を仮定した場合にその重さを実現する保型形式の存在を証明することを実行する.
|
