2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K04792
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
田中 孝明 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (60306850)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 代数的独立 / 正標数 / Mahler関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、Mahler関数という、独立変数の間の乗法的な変換に関して或る種の関数方程式を満たす関数を扱っている。Mahler関数は、指数関数やL関数等と異なり、正標数の体の上で定義しても、標数0の体上で定義した場合とほぼ同様の形で理論が展開できることが先行研究において示されている。ただし、先行研究の対象は、１変数のMahler関数に限られていた。平成28年度の研究では、先行研究と異なり、多変数Mahler関数を正標数の関数体の上で定義し、その値の代数的独立性に関する理論を展開した。
一般に、関数の値の代数的独立性の証明は２段階から成る。即ち、問題に即して構成された補助関数たちが、有理関数体上で代数的独立な関数であることを示す段階と、そのことが示された補助関数たちの、ある点における値が代数的独立であることを示す段階、という２ステップが必要である。本研究では、これら両方のステップについて正標数の関数体上で成立する定理を証明した。
さらに、上記の２つの定理を組み合せて、正標数の関数体において微分完全代数的独立性をもつ関数の実例を与えた。微分完全代数的独立性とは、最も大きく取った定義域内にある、0以外のすべての代数的数における、その関数の値および任意の階数の導関数の値をすべて併せて得られる無限集合が代数的独立となる、という性質である。複素数体上では、微分完全代数的独立性をもつ関数の種々の実例が先行研究において与えられている。正標数の関数体においても微分完全代数的独立性をもつ関数の実例が得られたことは次のような重要な意味を持つ。即ち、正標数の関数体の拡大体であって複素数体に対応するものは先行研究において重要な研究対象であったが、この体は正標数の関数体上で無限の超越次数をもつのみならず、複素数体と同様の複雑さを有することが示された。
上記の結果をすべてまとめた論文を投稿し、現在査読中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
４年間の研究期間の前半の２年間において、p進数体および正標数の関数体という代表的な非アルキメデス付値体の上で、多変数Mahler関数およびその値の代数的独立性に関する基礎理論を構築することができた。それを応用して非アルキメデス付値体において完全代数的独立性をもつ関数を構成する基盤が整った。
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| Strategy for Future Research Activity |
代表的な非アルキメデス付値体における多変数Mahler関数の基礎理論が構築できたことから、今後は多変数Mahler関数であってp進類似および正標数類似に関する先行研究が存在しないものについて、それらの類似の構成を目指す。具体的には、Hecke-Mahler級数と呼ばれる複素数体における２変数Mahler関数の、p進類似および正標数類似の構成を通して、非アルキメデス付値体において（以下で説明する）完全代数的独立性をもつ関数の研究を推進する。
複素数体におけるHecke-Mahler級数とは、無理数ωの自然数h倍の整数部分[hω]から成る数列{[hω]}の母関数であり、それを２変数化した冪級数がMahler型の関数方程式をみたす。さらに、Hecke-Mahler級数は複素数体において完全代数的独立性をもつ。完全代数的独立性とは、最も大きく取った定義域内にある、0以外のすべての代数的数における値をすべて併せて得られる無限集合が代数的独立となることである。従って、Hecke-Mahler級数の非アルキメデス付値体における類似を得ることが、本研究の目的達成に直結する。
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| Causes of Carryover |
国際研究集会Diophantine Analysis and Related FieldsのOrganizersとの協議の結果、2018年に開催される同研究集会を、研究代表者が主催することが決定した。それに伴い、Diophantine Analysis and Related Fields 2018への外国人研究者の招聘に助成金を重点的に使用することにより研究成果をより大きくできると判断した。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
研究代表者は2018年3月初頭にDiophantine Analysis and Related Fields 2018を主催する。それに合せて、解析数論における著名な外国人研究者を３ないし４名招聘する計画である。この国際研究集会では、講演以外に研究討議の時間も十分に確保する予定であり、それを通して本研究課題の推進への大きなフィードバックが期待できる。
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Research Products
(1 results)
