2018 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
15K04792
|
|---|
| Research Institution | Keio University |
|---|
Principal Investigator |
田中 孝明 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (60306850)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
|
| Keywords | p進絶対値 / Mahler関数 / 代数的独立性 / 超越数 / 群作用 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
関数が完全代数的独立性を持つとは、最も広く取った定義域内の相異なる代数的数における値がことごとく代数的独立な超越数となることをいう。本研究の目的は非アルキメデス付値体において完全代数的独立性を有する関数の構成である。これを達成するため、通常の絶対値のみならず、素数pに対するp進絶対値に関しても収束するMahler関数を構成する必要があった。しかし、研究代表者の従来の研究において構成した完全代数的独立性を有する関数の定義域は、ひとつの成分の絶対値が1より大きい領域にまでは広げることができなかった。このことは通常の絶対値とp進絶対値に関して同時には収束しないことを意味する。従って今年度の研究では、従来の研究で構成した関数にある種のバランス化を施し、２個の完備代数閉体の直積に属するほぼすべての点で収束するMahler関数を構成した。この関数は異なる有限個の点において同一の値をとることから、上記の完全代数的独立性は持たない。しかし、原点に関する対称変換、および単位円周に関する折り返し、という２つの変換により生成される群がこの関数の定義域に作用し、同一の値を与える点はすべてこの群作用による同一の軌道に属することが分かった。即ち、今年度の研究において新たに構成したMahler関数から、上記の群作用に関する軌道全体の集合上の写像が自然に定義される。そして、この写像は代数点に代表される任意の相異なる軌道における値がすべて代数的独立となる。つまり、群作用に関する軌道全体の集合上で定義された、完全代数的独立性を有する写像の構成という形で、今年度は完全代数的独立性の拡張概念に対する実例を得ることができた。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
完全代数的独立性を有する関数の種々の実例が得られているという点で本研究は順調に進展している。一方で「研究実績の概要」欄でのべたように、完全代数的独立性の拡張概念が派生したことから、これを含めた研究を完成させるため研究期間を延長した。
|
| Strategy for Future Research Activity |
完全代数的独立性の拡張概念の実例として平成３０年度に本研究で得られた、群作用に関する軌道全体の集合上で定義された写像は、次のような代数的整数論にも現れる可換環において拡張版の完全代数的独立性を有すると期待される。すなわち、この写像は通常の絶対値および、有限個の素数pに対するp進絶対値に関して完備な代数閉体の直積に値をもつことを確認する。その上で、そのような直積の成分である完備代数閉体すべてにおいて同時に拡張版の完全代数的独立性を有することを示す。
|
| Causes of Carryover |
2017年度に本基金を使用して国際研究集会を開催し、それに招聘した海外の研究者との討論を通して得られた知見をもとに国際共同研究を行うことが2018年度の当初計画であった。しかし、先方と当方の状況の兼合いによりその実施が困難となったため完全代数的独立性の拡張概念の研究へとシフトした。これに伴い旅費の使用額が減少したことが次年度使用額が生じた理由である。今年度も国際共同研究を実施できる状況となるか定かでないことと、拡張概念の研究を進めても本研究の目的に本質的な変化は生じないことから、今年度は完全代数的独立性の拡張概念の研究を完成させることを目指す。
|
