2019 Fiscal Year Annual Research Report
Perfect algebraic independence properties over non-Archimedean valuation fields
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15K04792
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
田中 孝明 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 准教授 (60306850)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 代数的独立性 / 行列値関数 / 行列環 / 超越数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
微分完全代数的独立性を有する関数を応用し超越性・代数的独立性を行列環上に拡張する新たな概念を得たことが令和元年度の研究実績である。まず、用語について説明する。本研究では次のような性質をもち、冪級数で表される関数を「完全代数的独立性」を有する関数と呼ぶ。その性質とは、最も広く取った定義域内の相異なる代数的数を代入する毎にことごとく代数的独立な超越数を返すことである。さらに本研究では、そのような定義域内の相異なる代数的数における値のみならず、それらの代数的数における任意の階数の微分係数をもすべて併せた無限集合が代数的独立となり、冪級数で表される関数を「微分完全代数的独立性」を有する関数と呼ぶ。今年度は微分完全代数的独立性を有する関数を表す冪級数に、代数的数を成分とする正則行列を代入して得られる行列値関数の数論的性質を研究した。その結果、そのような行列値関数は代数的数を成分とする行列環上において両側超越性というべき、超越性の一種の疑似概念を満たす実例であることが分かった。
さらに、微分完全代数的独立性を有する 複数の 関数を表す冪級数たちに、代数的数を成分とする正則行列を代入して得られる行列値関数たちを同時に考えると、代数的数を成分とする行列環上において両側代数的独立性ともいえる、代数的独立性の（制限付きの）疑似概念を満たす実例となることも分かった。現在、これらの結果をまとめた論文を執筆中であり、査読付き学術誌に投稿予定である。上記の両側超越性および両側代数的独立性の実例においては、代入する代数的数成分の行列には、正則性と（行列値冪級数が収束するために必要な）スペクトル半径が冪級数の収束半径より小さいという、２つの自然な条件のみを課している点が特徴的である。
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Research Products
(1 results)
