2020 Fiscal Year Annual Research Report
Representation theoretical Research on Cluster algebras and crystal bases
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15K04794
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| Research Institution | Sophia University |
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Principal Investigator |
中島 俊樹 上智大学, 理工学部, 教授 (60243193)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中筋 麻貴 上智大学, 理工学部, 准教授 (30609871)
五味 靖 上智大学, 理工学部, 准教授 (50276515)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2021-03-31
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| Keywords | 結晶基底 / クラスター代数 / 幾何結晶 / 熱帯化 / potential / 2重Bruhat cell |
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| Outline of Annual Research Achievements |
結晶基底の理論は１９９０年代に導入され、その後多くの分野と結びつきながら発展した。その中で、S.FominとA.Zelevinskyにより発見されたクラスター代数は現在広く世界中で研究が活発に進展しており、当該研究の主題はこのクラスター代数とその元になった結晶基底の関係について、これまでとは違った視点、つまり、単項式表示や多面体表示などを用いて具体的に記述することにある。
これまで明らかになっているのは２重Bruhat cell G(u,e)上の座標環が持つクラスター代数としての構造のうち初期クラスターとよばれるものについて、Demazure 結晶の単項式表示を用いて具体的に記述したことである。さらに、金久保有輝とともにA型の場合に、Coxeter元からきまる２重Bruhat cell 上のクラスター代数のすべてのクラスター変数を結晶基底の単項式表示を用いて具体的に記述することにも成功し、学術誌にすでに論文が掲載されている。そこでは、preprojective 代数の加群の圏を用いてadditive categorification という手法が重要な役割を果たした。また、クラスター多様体と呼ばれる幾何学的対象上に幾何結晶の構造を導入することにも研究の方向を広げている。クラスター多様体にはA多様体とX多様体という対になったものが定義されている。この２つのトロピカル 双対についてのFock-Goncharov 予想というものが提示されて、幾何結晶のtropicalizationとの関係が期待されている。こちらについてもすでに学術誌に論文が掲載済みである。最近ではpotential とよばれる多様体上の関数が幾何結晶、結晶基底そしてクラスター代数をつなぐ重要な対象であると認識しその具体的な構成や応用についての研究も行い、現在投稿中である。
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Research Products
(3 results)
