2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K04798
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| Research Institution | Tokyo University of Science |
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Principal Investigator |
木田 雅成 東京理科大学, 理学部, 教授 (20272057)
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2015-10-21 – 2020-03-31
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| Keywords | 非アーベル拡大 / アルティンL関数 / 二次形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目標は生成多項式などの構成的逆ガロア問題の手法を使い，有理数体上の非アーベル拡大をある程度数論のわかる形で構成し，そのアルティンL関数や分解法則，対応する保型形式を計算することであった．その目標の達成のため，本年度はこれらの分野の基本文献を精読するとともに，テストケースである位数8の2面体群D_4をガロア群を持つ拡大体に対して，次のようなことを南村典彦と行った．
(1) D_4 拡大の生成多項式から分岐を制限した体を構成すること
(2) D_4 拡大のアルティンL関数をその部分体である実二次体から誘導された表現のL関数として計算するアルゴリズムの作成
(3) D_4 拡大の分解法則を不定符号2次形式を使って表すこと
従来は，D_4に含まれる虚2次体とその環類体を使った計算例はいくらか見られるが，実二次体とその ray class field を使った計算はあまり多くなく，そのアルゴリズムを実装することによりいくらでも実例が得られるようになった．保型形式との関連を述べれば，上での計算から不定符号二次形式のヘッケによるテータ関数と従来の定符号二次形式のテータ関数の間の等式の実例がいくらでも得られるようになった．以上で述べたことは，まだ論文になる段階ではないが，その一般化に向かう方針ができつつあるように思われる．また，2015年11月に香川大学で行われたセミナーで「GL(2,3)拡大について」という題で非可換拡大の構成に関する講演を行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
採択時期が10月ということでスタートは遅れたが，その前からのいくらか準備が進んでいたこともあって，予備的な考察をほぼ完全な形で済ますことができた．また実験に使うプログラムも書き，今後の研究の基礎を作ることができたと考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
今回行った考察を発表できるものに高めるため．D_4を含む非可換群のファミリーに対して拡張することを考えている．そのためには様々な有限群論，その表現論からの準備が必要で，その文献の調査，精読などを行っていく．また今回多くの計算例が得られたが，その背後にあるメカニズムがよくわかったというわけでもない．そのあたりを探求していくのも今年度以降の目標に入ってきた．
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| Causes of Carryover |
採択決定が半年ずれこんだことにより，当初予定していた出張等で経費を使用することができなくなり，残額が生じてしまった．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
今年度は研究発表や研究打ち合わせが昨年度より多くの回数実施される予定なので，それに使用する予定である．
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