2016 Fiscal Year Research-status Report
Kirillov-Reshetikhin 加群の結晶基底とその組合せ論的実現
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15K04803
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
佐垣 大輔 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (40344866)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 量子アフィン代数 / 有限次元既約表現 / 結晶基底 / Kirillov-Reshetikhin 加群 / Lakshmiba-Seshadri パス |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成27年度に，エクストリーマル・ウェイト加群の Demazure 型部分加群や量子 Weyl 加群の次数付き指標と，非対称 Macdonald 多項式の t=\infty での特殊化の間の関係を研究した．その際に，中心的な役割を果たしたのが，半無限 Lakshmibai-Seshadri パスのなすクリスタルであった．この半無限 Lakshmibai-Seshadri パスを null root を法として考えると，量子 Lakshmibai-Seshadri パスになり，それら全体のなすクリスタルが当研究の研究対象である Kirillov-Reshetikhin クリスタルのうちレベルが 1 のものになることが知られている．
ところで，通常の Lakshmiba-Seshadri パス（可積分な最高ウェイト加群の結晶基底に対応する）においては，「標準単項式理論」と呼ばれる Littelmann による理論がある．この理論は，Lakshmibai-Seshadri パスのテンソル積が，最高ウェイト元のテンソル積と同じ連結成分に含まれるための必要十分条件を記述する重要なものであった．平成28年度は，標準単項式理論を半無限 Lakshmibai-Seshadri パスの場合に拡張した；すなわち，半無限標準単項式理論を構築した．さらに，エクストリーマル・ウェイト加群の Demazure 型部分加群に対応する半無限標準単項式を記述することに成功した．これらの平成27, 28年度の当研究の研究成果は，半無限旗多様体の同変 K-理論に対する Pieri-Chevalley 型の公式の証明に（一部）応用されている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初計画していた内容に関しては，残念ながら大きな進展はなく，報告できる研究結果をあげることはできなかった．
しかし一方で，半無限 Lakshmibai-Seshadri パスに関する研究は大きく進展し，半無限単項式理論の構築や，半無限旗多様体といった幾何学との関係も深く研究することができた．半無限 Lakshmibai-Seshadri パスを null root を法として考えると，当研究の研究対象（の一部）であるレベル 1 の Kirillov-Reshetikhin クリスタルが得られるため，上のような半無限 Lakshmibai-Seshadri パスに関する研究は，当研究の研究目標にとっても十分に意義のあるものと考える．以上を踏まえ，「おおむね順調に進展している」とする．
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| Strategy for Future Research Activity |
(1) まず，平成27, 28年度に得られた結果も用いて，当初の予定にあった「Kirillov-Reshetikhin クリスタルと同型になると予想されるクリスタル B(r,s) の組み合わせ論的構成」を行う．
(2) 半無限 Lakshmibai-Seshadri パスに関する研究も引き続き行う．特に，半無限 Lakshmibai-Seshadri パスのテンソル積と次数関数の関係を，平成28年度に得られた半無限標準単項式理論を用いて分析する；これができれば，Feigin-Makedonskyi による（一般化された）量子Weyl群の（テンソル積に関係した）フィルトレーションが，クリスタルの言葉で簡潔に記述することができるようになると考えられる．
(3) 平成27年度に行った次数付き指標の研究を進めることで，Cherednik-Orr 予想を解決したいと考えている．そのためには，PBWフィルタ（もしくは次数）と量子 Bruhat グラフとの関係を調べる必要があるが，平成28年度に，可積分最高ウェイト加群におけるエクストリーマル・ウェイト・ベクトルの PBW 次数が，量子 Bruhat グラフの最短経路のウェイトを用いて記述できることを，私の研究室の大学院生が証明している．
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| Causes of Carryover |
予定していた海外出張（台湾）が次年度（平成29年度）にずれ込んだため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成29年度の4月上旬に台湾に出張した．その際の出張旅費（の一部）にあてる．
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Research Products
(4 results)
