2017 Fiscal Year Research-status Report
Kirillov-Reshetikhin 加群の結晶基底とその組合せ論的実現
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15K04803
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
佐垣 大輔 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (40344866)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 量子アフィン代数 / 有限次元既約表現 / 結晶基底 / Kirillov-Reshetikhin 加群 / Lakshmibai-Seshadri パス / Macdonald 多項式 / van der Kallen 加群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成２７年度に，量子 Lakshmibai-Seshadri パスのなすクリスタルにおいて，最後の方向ベクトルに関する特殊な条件を満たすもの全体からなる部分集合Ａを考えると，その次数付き指標が t=\infty での非対称 Macdonald 多項式に一致することを証明した．この量子 Lakshmibai-Seshadri パスのなすクリスタルは，レベル１の Kirillov-Reshetikhin クリスタルになっており，当研究の研究課題とも密接に関係しているものである．
平成２９年度には，エクストリーマル・ウェイト加群の商加群として，（レベル０の）van der Kallen 加群を新たに導入し，その結集基底を半無限 Lakshmibai-Seshadri パスのなすクリスタルの部分集合Ｂとして実現した．そして，この部分集合Ｂを null root を法として考えると，上述の量子 Lakshmibai-Seshadri パスのなすクリスタルにおける部分集合Ａになることを示し，その系として，van der Kallen 加群の次数付き指標が (1-q^{-r}) (r \ge 1) の積を除いて，非対称 Macdonald 多項式に一致することを証明した．この結果は，非対称 Macdonald 多項式の t=\infty での特殊化と量子アフィン代数の表現論との関係を明らかにする重要なものである．
また，平成２８年度には，半無限 Lakshmibai-Seshadri パスのテンソル積に関して「半無限標準単項式理論」を構築した．これに関連して，平成２９年度は，量子 Lakshmibai-Seshadri パスのなすクリスタル上の次数関数が，量子 Lakshmibai-Seshadri パスのテンソル積のもとで，どのようにふるまうかを組み合わせ論的に記述した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初計画していた内容に関しては，大きな進展はなかった．一方で，非対称 Macdonald 多項式の特殊化と量子アフィン代数の表現論との関係については，半無限 Lakshmibai-Seshadri パスを仲介として，大きく進展があった．（van der Kallen 加群の導入）また，量子 Lakshmibai-Seshadri パスの上の次数関数と量子 Lakshmibai-Seshadri パスのテンソル積との関係は長年未解決であった問題で，これが明らかになったことも重要な研究成果である．
半無限 Lakshmibai-Seshadri パスは null root を法として考えると，量子 Lakshmibai-Seshadri パスになる．そして，量子 Lakshmibai-Seshadri パスのなすクリスタルは，当研究の研究対称（の一部）であるレベル１の Kirillov-Reshetikhin クリスタルになっている．したがって，上述の半無限 Lakshmibai-Seshadri パスや量子 Lakshmibai-Seshadri パスに関する研究は，当研究の研究目標にとっても十分に意義のあるものと考える．以上をふまえ，進捗状況を「おおむね順調に進展している」とする．
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| Strategy for Future Research Activity |
（１）まず，これまでに得られた研究成果を参考にして，当初の予定であった「Kirillov-Reshetikhin クリスタルと同型になると予想されるクリスタル B(r,s) の組合せ論的構成」を行い，実際にそれが Kirillov-Reshetikhin クリスタルと同型であることを証明する．
（２）半無限 Lakshmibai-Seshadri パスや量子 Lakshmibai-Seshadri パスに関する研究も引き続き行う．特に，これらのパスのテンソル積と次数関数との関係については，平成２９年度の研究において多くの結果が得られた．そこで，平成３０年度は，これらの結果を応用して，Feigin-Makedonskyi による（一般化された）量子Weyl加群の（テンソル積に関係した）フィルトレーションを，クリスタルの言葉を用いて簡潔に記述することを目標とする．
（３）これまでの研究で，非対称 Macdonald 多項式の特殊化と量子アフィン代数の表現論との関係はかなり明らかになってきた．今年度は，特殊化していない非対称 Macdonald 多項式と表現論の関係を明らかにする．
（４）研究課題である Kirillov-Reshetikhin 加群の結晶基底の存在証明にとりくむ．「研究実施計画」に記載したものに加え，（２）や（３）において得られる研究成果も大いに役立つであろう．
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| Causes of Carryover |
（理由）予定していたパソコン周辺機器を購入を次年度に先送りしたため．
（使用計画）平成３０年４月にパソコン周辺機器を購入予定．
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