2018 Fiscal Year Research-status Report
Kirillov-Reshetikhin 加群の結晶基底とその組合せ論的実現
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15K04803
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
佐垣 大輔 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (40344866)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 量子アフィン代数 / 有限次元既約表現 / 結晶基底 / Kirillov-Reshetikhin 加群 / Lakshmibai-Seshadri パス / Macdonald 多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成27～28年度に，レベル・ゼロのエクストリーマル・ウェイト加群における Demazure 加群の次数付き指標と，対称/非対称 Macdonald 多項式の特殊化との間の関係を研究した．この研究で中心的な役割を果たしたのが，半無限 Lakshmibai-Seshadri パスのなすクリスタルである；半無限 Lakshmibai-Seshadri パスを null root を法にして考えると，量子 Lakshmibai-Seshadri パスになり，それらのなすクリスタルが当研究の研究対象である Kirillov-Reshetikhin クリスタル（の特別な場合；レベル1の場合）になることが知られている．平成29年度には，半無限 Lakshmibai-Seshadri パスに対する「半無限標準単項式理論」を構築することに成功し，エクストリーマル・ウェイト加群における Demazure 加群に対する「半無限標準単項式」を記述した．そして，Demazure 加群の次数付き指標に関する Chvalley 型の公式（優整ウェイトの場合）を導いた．
平成30年度は，上記の半無限標準単項式理論と優整ウェイトの場合の Chvalley 型の公式を応用して，Chvalley 型の公式を反優整ウェイトの場合まで拡張した (arXiv:1808.01468)．また，この結果の系として，半無限旗多様体の同変K-理論における，反優整ウェイトの場合の Chevalley 型の公式が得られた．さらに，応用として，minuscule ウェイトに関する Monk 型の公式（minuscule ウェイトと Demazure 加群の最高ウェイトが同じ Weyl chamber に含まれている場合）を証明することができた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初計画していた内容に関しては大きな進展はなかった．一方，半無限 Lakshmibai-Seshadri パスに関する研究はさらに大きく進展した．実際，平成29年度に得られた優整ウェイトの場合の Chvalley 型の公式と，平成30年度に得られた反優整ウェイトの場合の Chvalley 型の公式を組み合わせれば，すべての整ウェイトについての Chevalley 型の公式を計算することが（原理的には）可能になる．したがって，平成30年度の研究業績は大きな意義があるといえるだろう．
上でも述べたとおり，半無限 Lakshmibai-Seshadri パスを null root を法にして考えると，当研究の研究対象である Kirillov-Reshetikhin クリスタル（の特別な場合）になる．したがって，上のような半無限 akshmibai-Seshadri パスに関する研究は，当研究の研究目標にとっても大いに意義があるものと考える．以上を踏まえ，「おおむね順調に進展している」とする．
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| Strategy for Future Research Activity |
(1) 当初の予定どおり「Kirillov-Reshetikhin クリスタルと同型になると予想されるクリスタル B(r,s) の組み合わせ論的構成」を行う．これに関しては，当初のクリスタルの相似性のみではなく，Travis Scrimshaw 氏らの最新の研究も参考にできると考えている．
(2) Kirillov-Reshetikhin 加群の結晶基底の存在については，Scrimshaw氏や直井克之氏の最新の（例外型に関する）結果を参考にして，研究を加速させる．そして，結晶基底の存在が確認された後，(1) のクリスタルを用いて完全性などの性質を探る．
(3) 半無限 Lakshmibai-Seshadri パスに関する研究も引き続き行う．特に，一般の整ウェイトについての Chevalley 型の公式は，上述のとおり，原理的には計算可能であるが，そこからキャンセレーションを取り除き，より明示的に記述することが重要な課題となる．また，Monk 型の公式についても研究を進めたい．
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| Causes of Carryover |
（理由）筑波大学数学類の運営，特にカリキュラム編成に深くかかわる仕事を担当している．筑波大学では平成31年度より教育カリキュラムが大幅に変更されることになっており，平成30年度はその準備や業務で特に忙しかった．さらに，平成30年度は修士課程の学生５人の修士論文指導にも時間を取られた．以上のことが主な理由で，予定していた海外出張を先送りにした．
（使用計画）平成31年度中に当初予定していた海外出張（ドイツまたはアメリカ）を行い，予算を消化する．
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Research Products
(3 results)
