2019 Fiscal Year Annual Research Report
Crystal bases for Kirillov-Reshetikhin modules and their combinatorial realization
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15K04803
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
佐垣 大輔 筑波大学, 数理物質系, 教授 (40344866)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2020-03-31
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| Keywords | 量子アフィン代数 / 有限次元既約表現 / 結晶基底 / Kirillov-Reshetikhin 加群 / Lakshmibai-Seshadri パス / Macdonald 多項式 / Chevalley 型の公式 / Monk 型の公式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
平成29年度に，半無限 Lakshmibai-Seshadri パスに対する「半無限標準単項式理論」を構築することに成功し，エクストリーマル・ウェイト加群における Demazure 加群に対する「半無限標準単項式」を記述した．そして，Demazure 加群の次数付き指標に関する Chevalley 型の公式（優整ウェイトの場合）を導いた．平成30年度は，上記の半無限標準単項式理論と優整ウェイトの場合の Chevalley 型の公式を応用して，Chevalley 型の公式を反優整ウェイトの場合まで拡張した．さらに，その応用として，minuscule ウェイトに関する Monk 型の公式（minuscule ウェイトと Demazure 加群の最高ウェイトが同じ Weyl chamber に含まれている場合）を証明することができた．
平成31年度・令和元年度は，平成30年度に得られた反優整ウェイトに対する Chevalley 型の公式を minuscule ウェイトに限定したものを考えた．そして，項のキャンセレーションをすべて取り除き，"放物型の" Chevalley 公式を正確に記述することに成功した．
また，Monk 型の公式についても，A型の自然表現に現れる任意の minuscule ウェイトにまで拡張することができた．
平成27年度から平成31年度・令和元年度までに行った当研究では，当初の目標であった Kirillov-Reshetikhin 加群の結晶基底の存在を示すことはできなかったが，それと密接に関連する半無限 Lakshmibai-Seshadri パスや量子 Lakshmibai-Seshadri パスの研究が著しく進展した．将来，これらの研究を基に，Kirillov-Reshetikhin 加群の結晶基底の研究がより広い視点で行われることが期待される．
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Research Products
(3 results)
