良い性質をもつ概均質ベクトル空間の研究

2015 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K04804
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 木村 達雄 筑波大学, 名誉教授 (30022726)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2018-03-31
• Keywords: 正則概均質ベクトル空間 / 既約超局面 / 既約相対不変式 / 代数閉体上の分類

Outline of Annual Research Achievements

概均質ベクトル空間の理論が完全に出来ているのは、相対不変式が唯一つの正則概均質ベクトル空間であり、これから佐藤ー新谷の理論により１変数の解析的なゼータ関数なども得られるので、このような空間の例を出来るだけ得ることは数学的に興味がある。これを本研究では良い性質をもつ概均質ベクトル空間、あるいは単に基本的概均質ベクトル空間と仮によぶことにする。
基本的概均質ベクトル空間の裏返し変換も基本的概均質ベクトル空間であるから、一つ基本的概均質ベクトル空間が与えられれば、無限個の基本的概均質ベクトル空間が得られるが、裏返し変換でうつる概均質ベクトル空間は色々共通の性質を持つので、その中で一番次元の低い空間を決定しておけば良い。
佐藤ー木村によって完成した既約概均質ベクトル空間の分類においては被約(reduced)な正則概均質ベクトル空間がそれに相当し、たとえばその相対不変式が具体的にわかれば、その裏返し変換の相対不変式はそれから機械的な手続きで得られるし、ゼータ関数の関数等式すら、機械的な手続きで被約な場合から得られるのである。
ただこの良い性質を持つ空間だけを取り出す手段はまだ見つかっておらず、とりあえず今までの分類で得られたもののなかから探すというのが第一段階であり、今年度の研究はこれを実行した。単純概均質ベクトル空間で基本的なものは５個あるが、そのうち４個は既約正則概均質ベクトル空間に埋め込まれる。また基本的概均質ベクトル空間の群を正則性を保つ範囲で大きくしても基本的でやはり相対不変式は変わらない。この意味では単純概均質ベクトル空間で新しい基本的なものは一つしかないことがわかった。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

今までの分類の中で表で与えられたものの中で特異集合が既約超局面になっているものはほぼ決定出来たので、だいたい予定通りであるが、一般の場合に分類する原理がまだ見つかっていないので、これからが難しいところになると思われる。しかし今まで得られたものから色々類推できる可能性がある。

Strategy for Future Research Activity

今後はまず自明な２単純概均質空間の中で基本的なものを選び出す研究から始める。これは非自明な２単純概均質ベクトル空間の場合と異なり、かなり面倒であることが予想される。