良い性質をもつ概均質ベクトル空間の研究

2017 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K04804
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 木村 達雄 筑波大学, 数理物質系(名誉教授), 名誉教授 (30022726)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2019-03-31
• Keywords: 相対不変式一つ / 既約超曲面 / 正則概均質ベクトル空間 / 簡約可能代数群

Outline of Annual Research Achievements

相対不変式が唯一つの簡約可能な正則概均質ベクトル空間、言い換えれば、特異集合が既約超曲面である簡約可能概均質ベクトル空間を分類することが、本研究の目的である。
この空間を仮に典型的概均質ベクトル空間と名付けると、典型的なものの裏返し変換はすべて典型的なので、その中で一番次元が低いものを被約とよぶと、結局、被約かつ典型的な空間を分類すれば良い。この例として、佐藤幹夫ー木村達雄によって分類された既約正則概均質ベクトル空間があり、フーリエ変換やゼータ関数の理論がうまくいく例を与えている。しかし既約の条件をはずすと、知られているものは、ごくわずかであり、それを完全に分類するのが、本研究の目標である。
最初の二年間は、様子をみるために、すでに分類された色々なタイプの概均質ベクトル空間から、典型的なものを取り出す作業をしていたが、今年度は本質的に新しい進展があった。ドイツでポップ教授と議論していて、新しい視点を得た。
被約かつ典型的な空間の各既約成分は相対不変式をもたない非正則既約概均質ベクトル空間である。その既約成分が高々一つを除いて、すべて被約であろう、と予想され、わずかの例外を除いて証明された所が、新しい分類方法を可能にしたところである。被約な非正則概均質ベクトル空間は全部で６つあるので、被約でない可能性のある既約成分が、この６個のどれと裏返し同値か、に応じて６つの場合にわけて研究する。そしてそのうち、５つの場合がほぼ分類できた。あと残っているのは、二つの特殊線形代数群の場合で、これは、今までの方法では無理で、クイバーの最新理論を使う必要がある。ここはまだ、これからである。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

最初の２年間は、様子をつかむために、すでに分類された概均質ベクトル空間から、相対不変式が唯一つの正則概均質ベクトル空間を取り出すことに専念した。それは簡単な場合もあるが、Ⅱ型の２単純概均質ベクトル空間の中から、それを取り出すのは大変なことであり、しかもそれが全部出来ても、分類そのものが未完成なので、この研究は完成しない。しかし幸いに、これらの例から、研究をどう進めれば良いかの方針が見えてきて、現在、６つの場合のうち、５つがほぼできている。残りの一つは、今までの方法は通用しないが、クイバーの新しい理論を使えばできる可能性がある。

Strategy for Future Research Activity

まずは、今までほぼ出来たところの細かいチェックとまとめをやり、そこが完成すれば、クイバー的な部分の研究に入る。

Causes of Carryover

ドイツのマンハイム大学へ出張し、ポップ教授、ザイラー教授などと研究連絡をする。
また秋田大学の大内将也氏、奈良高専の名倉誠氏とも研究連絡をする予定である。