2016 Fiscal Year Research-status Report
超幾何系由来のK3保型形式の研究とその数論への応用
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15K04807
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
志賀 弘典 千葉大学, 大学院理学研究科, 名誉教授 (90009605)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 保型関数 / 超幾何函数 / 虚数乗法論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本プロジェクトの目的として掲げた ``幾何学的観点の下で多変数モジュラー函数を導き、その応用として各種の数論の問題に接近する" というテーマを平成 28 年度も追求した。
特に今回考察の対象としたのは、数論的三角群に由来する４元数環から導かれる志村虚数乗法論において、志村が定義している``正準模型" と呼ばれる複素上半平面上のコンパクト型不連続群に関する保型函数と、対応するある数体上定義された代数曲線との組、の詳細な研究である。この不連続群が三角群になる場合は H 27 年度の研究として、成果を上げた。そうでない場合、種数 0 型の四角群が現れる。いずれにしても、この正準模型のモジュラー函数を明示することはこれまで行われていなかった。今回は４角群のケースの典型的な例である判別式 6 の有理数体上の４元数環の場合を研究した。これは、 N. Elkies, J. Voight らが研究している対象であるが、上記の観点からの成果はこれまで得られていなかった。また、この場合に現れるフックス型微分方程式がガウス超幾何ではなくホイン型となり、一般にはその記述は困難を伴う。これらの問題を、研究代表者がすでに得ている２次元複素超球上の保型函数のテータ零値による記述、さらに志村による虚数乗法論、を複合的に用いて解決した。
上記の研究結果は、内外の各種研究集会、談話会等の場で発表され、現在論文としてまとめつつある。概要はすでに数理研究所講究録原稿として提出され、発表が予定されている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
プロジェクトの目的として掲げた``幾何学的観点の下で多変数モジュラー函数を導き、その応用として各種の数論の問題に接近する" というテーマは、一変数保型関数の範囲ではよく展開されている。
しかし、本来は K3 曲面ないしはCalabi - Yau 多様体から生じる保型関数を構成して、多変数関数としての保型関数を構成して、このテーマを展開することが、本プロジェクトの窮極的な目標である。
そのような観点から見るならば、未だ出城を幾つか攻略できた、という段階にあると言わざるを得ない。
それが ``おおむね" という留保がつく理由である。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記に述べた真に多変数的特殊保型函数を構成し、数論への応用を図るという本来の目的を遂行したい。
現在見えている研究対象としては、
(1) アーノルドの例外型特異点の変形から生じる K3 曲面族を追求すること。ここからは必然的に (2,3,7) 型三角群との関連が現れ、豊富な数学的内容が包含されていると思われる。
(2) 数論的４角群と対応するホインの微分方程式を研究すること。
(3) バチレフによる反映型多面体から生じる K3 曲面族および Calabi - Yau 多様体族の研究を通じてミラー対称性さらにはムーンシャイン現象と保型関数との関連を特殊関数論的に追求すること。
が考えられる。これらの研究には、さまざまな数値実験によって、新事実の鉱脈を探る探査も重要になる。計算機も駆使して上記の問題群に接近して行く予定である。
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| Causes of Carryover |
年度内の国内出張計画（共同研究および研究打ち合わせ）があったが、先方の都合によって延期された。このための旅費が未使用残額となっている。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
上記計画が新年度に置いて実施される予定である。
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