2018 Fiscal Year Annual Research Report
brunching rules for the Macdonald polynomials and geometry
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15K04808
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
白石 潤一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (20272536)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | Koornwinder多項式 / Macdonald多項式 / Askey-Wilson多項式 / 量子戸田系 / Ruijsenaars作用素 / screening作用素 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) 星野氏との共同研究で、分割が一列の場合について、Koornwinder多項式の明示的公式を得た。その導出には、Koornwinder多項式に関する核関係式、Askey-Wilson多項式の４重和公式が用いられる。さらに、Koornwinder多項式の４つのパラメータ(a,b,c,d)を適当に退化させ、C型のMacdonald多項式に相当する場合について調べた。パラメータの退化に関係して生じる様々な基底に関する遷移行列が、Bresssoudないし、KrattenthalerのMatrix inversionで記述できることを発見した。すなわち、遷移行列とその逆行列がどちらも因数分解された行列要素を持ち、q超幾何級数の和公式・変換公式等の組合わせ的構造を反映した上手い計算規則が存在する。それらを総合し、C型のMacdonald多項式のmonomial基底に関する展開係数が満たす三項間漸化式を導いた。なお、この三項間漸化式はカタラン三角数に対する漸化式の類似物となっている。
さらに、C型のHall-Littlewood多項式の明示公式を調べ、Kostka多項式がカタラン三角数のt類似で与えられることを示した。
(2) B, C, D型のq戸田ハミルトニアンの固有関数に関する明示的公式を研究した。C, D型のq戸田ハミルトニアンの固有関数の挙動に関しては、残念ながら未だに不明な点が多く残されている。ただし、B型の場合については一般式の予想を得ることができた。
(3) affine型、即ちRuijsenaarsないし楕円的Macdonald作用素の固有関数についての研究を行った。非定常系（熱方程式ないし時間依存する発展方程式）を特徴付けるパラメータの導入が不可欠であることから、affine型のscreening作用素に付随する頂点作用素を導入し、その相関関数を調べた。
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Research Products
(4 results)
