対数アーベル多様体の幾何とその応用

2015 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K04811
• Research Institution: Yokohama National University
• Principal Investigator: 梶原 健 横浜国立大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (00250663)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: 対数構造 / 退化多様体 / アーベル多様体

Outline of Annual Research Achievements

本年度は主に，トーラスの階数が一定である半アーベル多様体を極大な群多様体に含む対数アーベル多様体上の基本的な主束について研究を進めた．具体的には，対数構造の群化から定まる群に付随する主束に関して，その拡大やコホモロジー群について研究した．対数アーベル多様体に関する本研究は，加藤和也氏（シカゴ大学，米国），中山能力氏（一橋大学）との共同研究である．
対数アーベル多様体は，対数幾何を用いて，退化アーベル多様体のコンパクト化にあたる群多様体を与える対象である．従来の多様体の範疇ではこのような群構造をとらえることができないが，対数構造を利用することにより，
多様体の概念を自然に拡張した範疇で，このようなコンパクトな群多様体が考えられる．
対数アーベル多様体では，コンパクト化と群構造の両方がとらえられる点がすぐれている．その一方で，従来の多様体を扱う理論を拡張する必要がある．そこで，解決方法の1つとして，対数アーベル多様体を完備な多様体で被覆し，
さらにその完備な多様体上に部分的な群構造を定めることにより，完備多様体と付加構造から，対数アーベル多様体を再構成する方法を研究している．
本年度実施した研究は，この手法を確立するための基礎研究である．トーラスの階数が一定である半アーベル多様体に伴う対数アーベル多様体の場合に，対数構造の群化やそれを情報群で割った商を構造群にもつ主束や，対数アーベル多様体の偏極に関する基本的な記述を得た．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本年度は，トーラスの階数が一定な半アーベル多様体に伴う対数アーベル多様体について，基本的な群主束が記述でき，おおむね順調に進展している．

Strategy for Future Research Activity

一般の半アーベル多様体に伴う対数アーベル多様体に，本年度の結果を拡張する．そのために，対数アーベル多様体のねじれ元のなす部分群に関して研究を進める．