対数アーベル多様体の幾何とその応用

2016 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K04811
• Research Institution: Yokohama National University
• Principal Investigator: 梶原 健 横浜国立大学, 大学院工学研究院, 教授 (00250663)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: 対数構造 / 退化多様体 / アーベル多様体

Outline of Annual Research Achievements

本年度は主に、トーラスの階数が一定とは限らない、弱い意味の対数アーベル多様体に関して、その上の主束や偏極を研究した。具体的には対数構造の群化から定まる群に付随する主束や乗法群に関する主束、および弱対数アーベル多様体上の偏極を定める双拡大に関する研究である。なお、対数アーベル多様体に関する本研究は、加藤和也氏（シカゴ大学、米国）、中山能力氏（一橋大学）との共同研究である。トーラスの階数が一定である定退化の弱対数アーベル多様体では、上述のような主束に関する基礎研究を昨年度から進めている。本年度は一般の弱対数アーベル多様体に拡張するために、弱対数アーベル多様体の有限表示性やその上の主束の有限表示性について研究を進めた。この研究は、定退化の弱対数アーベル多様体の形式族と弱対数アーベル多様体をつなぐ際に、技術的にも重要な基礎を与える研究である。有限表示性の証明ではクンマー・エタール位相を用いて、連接層の有限表示性を利用する。
弱対数アーベル多様体の偏極をその上の双拡大によって与えるため、双拡大に関する研究を行った。本研究では退化アーベル多様体を扱う際に必要な退化データである、双拡大の自明化や立方構造の自明化を、対数アーベル多様体の定義から自然に導いた。ファルティングス氏とチャイ氏による直線束の層に関する研究を参考にして、対数構造の群化に伴う主束への拡張を行い、アーベル部分が非自明な定退化の場合において定式化を研究した。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本年度は，対数アーベル多様体上の編曲を，従来の退化多様体との関係が解明でき，おおむね順調に進展している．

Strategy for Future Research Activity

対数アーベル多様体上の偏極，テータ関数を記述し対数アーベル多様体の射影多様体によるモデルに関して，研究を進める．