対数アーベル多様体の幾何とその応用

2017 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K04811
• Research Institution: Yokohama National University
• Principal Investigator: 梶原 健 横浜国立大学, 大学院工学研究院, 教授 (00250663)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: 対数構造 / 退化多様体 / アーベル多様体

Outline of Annual Research Achievements

モジュライ空間のコンパクト化に関連して、退化アーベル多様体の研究は重要なテーマである。これまで退化アーベル多様体は、マンフォードによる構成方法を用いて、さまざまな多様体が研究目的に応じて研究されていた。本研究では、対数幾何の観点から対数アーベル多様体論を構築し、これらの退化アーベル多様体を統一するなど、この方面の研究への応用を目指している。対数アーベル多様体に関する本研究は、加藤和也氏（シカゴ大学、米国）、中山能力氏（一橋大学）との共同研究である。
本年度は対数アーベル多様体の射影モデルに関する研究を進めた。対数アーベル多様体は、アーベル多様体の退化を扱える対象であり、しかも、可換群の構造を備えた対数幾何特有の対象である。この対象の特徴のひとつに、対数アーベル多様体に対して、代数多様体として構成されるさまざまな退化アーベル多様体を利用できる点が挙げられる。この代数多様体は対数アーベル多様体のモデルと呼ばれ、対数アーベル多様体の部分対象であり、対数アーベル多様体を記述するだけの十分な情報を持つ。モデルのなかでも、射影代数多様体によるモデル（射影モデル）は、対数アーベル多様体の不変量を研究する上で、基礎的なモデルであると期待される。本年度の研究において、これまでの研究成果で得られていた固有モデル上に、豊富な直線束を構成し、弱対数アーベル多様体の射影モデルを得た。この直線束の構成には、マンフォードの構成法にみられる離散群の作用を利用する。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本年度は弱対数アーベル多様体の射影モデルが構成でき、おおむね順調に進展している。

Strategy for Future Research Activity

対数アーベル多様体のモジュライ空間の構成にむけて、対数アーベル多様体の大域的、局所的解析を進める。