2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K04812
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| Research Institution | Niigata University |
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Principal Investigator |
張間 忠人 新潟大学, 人文社会・教育科学系, 教授 (30258313)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
和地 輝仁 北海道教育大学, 教育学部, 准教授 (30337018)
五十川 読 熊本高等専門学校, 共通教育科, 教授 (80223056)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | 完全交叉 / ゴレンスタイン環 / レフシェッツ性 / EGH予想 / Sperner性 / matching性 / componentwise linearity / filterwise m-fullness |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究分担者の和地輝仁氏、研究協力者の渡辺純三氏（東海大学名誉教授）との共同研究では、アルティンゴレンスタイン環においてmatching性を導入し、Eisenbud-Green-Harris予想とSperner性との関連性について考察した。主要な結果は次の通りである：（１）アルティンゴレンスタイン環がmatching性をもてば、Sperner性をもつ。（２）単項式で生成される完全交叉は、matching性をもつ。（３）EGH予想が成り立つ完全交叉は、matching性をもつ。ゆえに、Sperner性をもつ。（４）1次式の積で生成される完全交叉は、matching性をもつ。ゆえに、Sperner性をもつ。この成果は、論文としてまとめ海外の専門誌に投稿した。
また、投稿していた論文のレフェリーレポートについて議論し再投稿した結果、その改訂版が専門誌Illinois Journal of Mathematicsから出版された。この論文の主結果の一つは「対称群で移りあう2次式で生成される完全交叉は、強いレフシェッツ性をもつ」である。
研究分担者の五十川読氏との共同研究では、多項式環上の次数付加群の第1シジジーにおいて、極大イデアルに関するフィルターごとにm-full性が成り立つという性質（filterwise m-fullness）を導入し、componentwise linear性との関連性について考察した。現在、completely filterwise m-full加群であることとcomponentwise linear加群であることの同値性が解明できつつある。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の目的の一つは、「完全交叉は強いレフシェッツ性をもつ」という予想を解決することである。これは極めて困難な問いである。しかし、今年度に得られた研究成果「１次式の積で生成される完全交叉はSperner性をもつ」は、「１次式の積で生成される完全交叉は強いレフシェッツ性をもつ」ことが証明できる、その解決の示唆を与えている。この意味で、現在の達成度は、おおむね順調に進展している、と言える。また、「完全交叉はmatching性をもつか？」とか「完全交叉においてmatching性とSperner性の同値性は言えるか？」といった新たな興味深い問題も見つかり、今後の研究課題である。さらに、多項式環上の次数付加群の第1シジジーについて、completely m-full性とcomponentwise linear性の同値性が証明できつつある。これは、イデアルに関する同様な結果に対して、ジェネリックイニシャルイデアルの議論を経由しない別証明を与えることになる。
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| Strategy for Future Research Activity |
レフシェッツ条件は、単に可換環論だけの問題ではなく、多くの他分野（表現論、組合せ論、トポロジー、微分方程式、代数幾何、超平面配置等）に関わっており、他分野の研究者との意見交換、情報交換が必要である。従って、多くの研究会に出席し、情報収集、情報発信することにより、研究の進展が期待できる。また、これまで通り、研究分担者・研究協力者と適宜セミナーと研究打ち合わせを密に行う。
完全交叉のレフシェッツ性問題については、一次式の積で生成された完全交叉のレフシェッツ性について考察を続ける。同時に、完全交叉アルティン環の２次式完全交叉環への埋め込み問題について考察する。一般元の振る舞いに関する問題では、加群のcompletely m-full性とcomponentwise linear性の同値性について考察を続ける。
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| Causes of Carryover |
3月に研究分担者・研究協力者との研究打合せを計画していたが、諸事情でその出張は次年度に延期になった。その未使用分の旅費は次年度のその経費に充てることとしたい。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
我々の研究の究極の目標は、（１）完全交叉環がSperner性を有することと（２）標数ゼロにおいては、強いレフシェッツ条件を有することを証明することである。これらに関する２つの研究成果「The EGH conjecture and the Sperner property of complete intersections」と「The quadratic complete intersections associated with the action of the symmetric group」について、研究分担者・研究協力者とともに学会で共同発表する。また、完全交叉アルティン環の２次式完全交叉環への埋め込み問題、多項式環上の次数付加群の第１シジジーのm-full性問題等は新しい取り組むべき課題である。上記の目標に加えてこれらの問題について、これまで通り、研究分担者・研究協力者と適宜セミナーと研究打ち合わせを密に行い研究を進める予定である。さらに、研究上必要な文献の購入も考えている。
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