2015 Fiscal Year Research-status Report
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15K04813
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| Research Institution | Niigata University |
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Principal Investigator |
吉原 久夫 新潟大学, 自然科学系, フェロー (60114807)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
徳永 浩雄 首都大学東京, 理工学研究科, 教授 (30211395)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | ガロワ直線 / ガロワ埋め込み / ガロワ群 / 楕円曲線 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
一般次元でのガロワ埋め込みの研究がテーマであるが、関連する緊急課題として以下の研究をした。楕円曲線 E を４次の完備一次系で３次元射影空間 P3 に埋め込んだときの曲線を C とする。P3 の直線 L は、C と交わらないものとして、L 中心の射影を考え、この射影を C に制限したものを f : C ---> P1 とする。f は関数体の拡大 k(C)/k(P1) を惹き起こし、この拡大がガロワ拡大のとき、L をガロワ直線という。
この研究では C に対して、ガロワ直線をすべて求めて、その配置を決定した。 j(E)≠1728 のときは決定していたが、j(E) = 1728 のときは、４次で０を固定する自己同型が存在するので、その配置は極めて複雑で細部は未決定であった。特に、すべてのガロワ直線の方程式やそれらの交点まで具体的に決定した。それらは極めて複雑な計算が必要であり、コンピュータを用いて求めた。その副産物の一つとして、４次平面曲線でその正規化の種数が１の曲線の外のガロワ点の個数は２個以下であるという結果も得られた。
この成果の一般化として、より次数の大きい埋め込みの場合のガロワ部分空間の配置の問題がある。５次の埋め込みは存在しないことが判明しているので、６次の場合が次に研究するべき問題である。ただし、この場合の問題点は、すでに４次のとき複雑で完成に年数がかかったので、さらに複雑な６次の場合どのように扱うかである。何らかの新しい方法を見つける必要があることが予想される。さらに別の観点からの一般化として、アーベル多様体のガロワ埋め込みの研究も興味深い。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
ガロワ直線の概念を一般化した、ガロワ埋め込みの定義をしたが、その具体的な例として楕円曲線の一般化である、アーベル多様体のガロワ埋め込みを考察する予定であったが、楕円曲線の場合の完成とその成果のアーベル多様体への適用に意外と時間がかかってしまった。
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| Strategy for Future Research Activity |
楕円曲線の j(E)≠1728 の場合は自己同型が少ないので、比較的簡単だったので、これに相当する楕円曲線での６次の埋め込みや、アーベル多様体で一般的な場合にガロワ埋め込みの研究を行う。アーベル多様体は楕円曲線の直積と同種になると思われるが、この予想を出発点にして進めたい。
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| Causes of Carryover |
楕円曲線の場合の研究で詳細な計算が必要になって、一般的な場合の研究に進めなかったため、そのための経費の出費がなかったことと、期間中に国際会議を計画していたが、講演予定者の不都合と会場の不都合が重なって実現しなかったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
一般的な場合の研究に早急に着手する。また早い時期に国際会議の計画を立てて、実施したい。
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| Remarks |
研究の内容と成果の紹介に加えて未解決問題を提出している。
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