2016 Fiscal Year Research-status Report
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15K04813
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| Research Institution | Niigata University |
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Principal Investigator |
吉原 久夫 新潟大学, 自然科学系, フェロー (60114807)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
徳永 浩雄 首都大学東京, 理工学研究科, 教授 (30211395)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | ガロワ埋め込み / 楕円曲線 / bi-elliptic surface / ガロワ群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
代数多様体のガロワ埋め込みの研究の特別な場合として、楕円曲線の埋め込みで、そのガロワ群が位数 2n の二面体群の場合について考察した。n = 2 のときは、ガロワ直線を考察して 6 本の直線が四面体の辺となっていた。位数 2n で考察の場合にはガロワ部分空間の考察となり、その数は nn(nn-1)/2 以下であることが判明した。さらにガロワ群の生成元の表示も見つかった。別の方向での一般化として、3 次元空間内の曲線のガロワ直線の研究を行ったが種数が 0 以上のときはその本数が有限個であることが判明した。これについては、本数の評価まで求めたい。
また、別の視点からの特別な場合として、n 次元射影空間 Pn の d 次ガロワ埋め込みの研究も実施した。この場合は群が可換のときだけ成功して、群の構造は d 次巡回群の n 個の直和である。また射影の構造は適当に座標を選ぶと (x1, x2, ..., xn) -> ((x1)d, (x2)d, ..., (xn)d) と表せることも判明した。群が非可換のときは未解決であり、今後の課題である。
一方曲面でのガロワ埋め込みは小平次元が 0 のときは、アーベル曲面でかなりの成果があるが、その他では少ない。ここでは特に、bi-elliptic surface S についてガロワ埋め込みの可能性を調べた。問題をやや一般化して、S を自己同型群の有限部分群 G で割ったとき、S/G が非特異なら、この曲面はやはり bi-elliptic surface か不正即数 1 の ruled surface であることが判明した。その副産物としてこの曲面はガロワ埋め込み不可能であることが判明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
平面曲線のガロワ点の研究やアーベル曲面のガロワ埋め込みの研究の延長線上の研究として代数多様体のガロワ埋め込みの研究を行い始め、射影空間に関してはある程度うまくいったがその他の場合は困難が多くうまく進展していない。
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| Strategy for Future Research Activity |
代数多様体として超曲面を考えたときの研究と、空間曲線について一般的な研究を行う。それらの成果をもとにして一般的な場合の研究を実施する。
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| Causes of Carryover |
昨年６月に開催計画をしていた佐渡代数幾何学シンポジウムが会場と組織委員の都合で開催できなかったこと、および年度末にチリ出張で使用の旅費が反映されていないことが主な理由である。その他自身の研究上では代数多様体のガロワ埋め込みの研究が、研究に進む下準備に意外と時間がかかり進まなかったため、その費用の支出がなかったことである。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
昨年度招待予定だった海外の共同研究者を招待して研究の進展を図る。また、空間曲線の一応の準備はできたので、今年度実質的な進展を図る。また、一般次元では射影空間のみ得られている成果をその他多様体にも考察の範囲を拡げたい。
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| Remarks |
平面曲線のガロワ点および代数多様体のガロワ埋め込み関係の研究成果を公表している。さらに、それに関連した未解決問題も提示している。
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