2018 Fiscal Year Annual Research Report
Comprehensive research of Galois embedding of algebraic variety
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15K04813
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| Research Institution | Niigata University |
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Principal Investigator |
吉原 久夫 新潟大学, 自然科学系, フェロー (60114807)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
徳永 浩雄 首都大学東京, 理学研究科, 教授 (30211395)
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| Project Period (FY) |
2015-04-01 – 2019-03-31
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| Keywords | ガロワ埋め込み / ガロワ点 / ガロワ直線 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ガロワ埋め込みの理論は当初はガロワ点の理論の一般化から始まった。そのガロワ点の理論は研究代表者が１９９６年に創始したものである。当時は非特異平面曲線に対して研究され、この場合は基礎体の標数が零のときは、群が巡回群しかなく、中のガロワ点の個数は４個以下、外のガロワ点の個数は３個以下と判明していた。その後特異点を許す平面曲線に対しても研究が始まり、こちらの場合は複雑でガロワ群もあらゆる有限群が現れ、しかもガロワ点の個数の上限は不明であった。最も簡単と思われる平面４次曲線で種数が１の曲線についても不明であったが、当該研究によって２個以下という成果が得られた。しかも２個になる曲線もすべて決定できた。この研究は特異点をもつ曲線を高次元の射影空間の非特異曲線からの射影と考えるという方法である。実際に３次元射影空間内に４次の楕円曲線を考えて、その曲線のガロワ直線を考える。その配置をすべて決定して、空間内の適当な点から射影平面へ射影すると、要求された特異点とガロワ点を持った４次曲線が得られるというものである。
一般に特異点をもつ曲線のガロワ点を探すことは非常に困難である、その理由は特異点の性質に強く依存することと、特異点自身の解析もまだ不十分な点が多いからである。この問題を解決するためには、特異点の研究を進める方向と上記のように射影空間に双有理同値な非特異曲線を実現しておいて、ガロワ部分空間を考察して射影平面への射影によってガロワ点の上限を決定する方法の２種類がある。どちらも一長一短があるので、今後この展開を双方向から試みたい。
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| Remarks |
ガロワ点とガロワ埋め込みに関して、これまでの研究成果と未解決問題を発信している。
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