代数曲線、K3曲面、アーベル多用体の総合的研究

2015 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K04815
• Research Institution: University of Yamanashi
• Principal Investigator: 小池 健二 山梨大学, 総合研究部, 准教授 (20362056)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2018-03-31
• Keywords: 超幾何関数 / 三角群 / Ｒｉｅｍａｎｎ面 / テータ関数 / Schwarz写像

Outline of Annual Research Achievements

超幾何関数のモノドロミー群を通して算術的三角群(7,7,7)のユニタリ表現が得られる。
これを利用して7次のFermat曲線及びKlein4次曲線を超幾何曲線のモジュライ空間として調べた。7次のFermat曲線は三角群(7,7,7)のcommutator subgroupにより一意化され、Klein4次曲線はその中間部分群によって一意化される。一意化写像はJacobi逆問題を具体的に考察することによりThomae型定理が得られ、テータ関数を用いて具体的に記述することができる。Klein4次曲線はlevel 7のモジュラー曲線であることが古典的に知られており、Elkiesによって6次元QMアーベル多様体をパラメタライズする志村曲線としても考察されている。今回の研究によりKlein4次曲線の新たなモジュライ的解釈が得られた。
研究成果は論文The Fermat septic and the Klein quartic as moduli spaces of　hypergeometric Jacobianとしてまとめられ、雑誌Hokkaido Mathematical Journalに投稿し受理された。また研究集会『TSUDA COLLEGE MINI-WORKSHOP ON CALABI-YAU VARIETIES』(津田塾大学, 2015年8月5日-7日)において講演『Hypergeometric periods for a family of cyclic 7-gonal curves』を行った。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

代数曲線に関しては、GAP等の数式処理ソフトを用いて大きな自己同型群をもつRiemann面及び算術的三角群の数論的側面などを中心に考察した。特殊な場合には超幾何曲線とK3曲面との関係も調べることができたので、来年度以降Kuga-Satake対応等より広範な研究を行う土台ができた。一方、研究を進めるに従い計算量も増えコンピュータのメモリが足りなくなってきている。

Strategy for Future Research Activity

自己同型群が大きいRiemann面、そのJacobi多様体を調べる上でMathematica, GAPやMacaulay2等の数式処理ソフトが不可欠であるのでCPUの交換・メモリーの増設等、計算機の性能改善を行う予定でいる。