代数曲線、K3曲面、アーベル多用体の総合的研究

2016 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K04815
• Research Institution: University of Yamanashi
• Principal Investigator: 小池 健二 山梨大学, 総合研究部, 准教授 (20362056)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2018-03-31
• Keywords: 代数曲線 / テータ関数

Outline of Annual Research Achievements

昨年度に引き続き代数曲線、K3曲面、アーベル多様体等の特殊多様体及び多変数超幾何関数、テータ関数等の特殊関数を考察した。
代数曲線に関してはGAP等の数式処理ソフトを用いて大きな自己同型群をもつcompactリーマン面及びarithmetic三角群の数論的側面などを中心に考察した。先行研究としてConderによる組織的な分類があるが、このようなRiemann面の代数方程式と群の作用を具体的に記述する問題は、深く考察されていないようであるので、種数の小さな場合に具体的な記述を目指し計算し、いくつかの方程式は決定できた。しかし論文としてまとめるだけの結果に至っていない。
またMumfordによるテータ関数の２次関係式を調べ、principal polarizationでない場合のKummer曲面の方程式を考察した。Jacobian Kummer曲面の場合には満足のいく結果が得られているが、それに相当するような結果は得られていない。
ある種の多変数超幾何関数のMonodromy群を調べた。Lauricella's F_Dの場合にはDeligne-Mostow, Teradaによる有名な結果があるが、他の３種F_A, F_B, F_Cの場合にはその様な研究は存在していない。３変数F_Cの場合にCalabi-Yau多様体の周期となるようなパラメータに関してMonodromy群を調べたが、期待されるような結果は得られなかった。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

研究課題の一つである、K3曲面とAbeli多様体の間のKuga-Satake対応の幾何学的実現に関しては成果が得られなかった。また与えられた有限群による不変な方程式系の計算やテータ関数の関係式の計算量が膨大になり、計算機の性能が追いつかない状況になりつつある。来年度は数式処理ソフトMagmaを導入する予定である。また、今年度は大学の業務の関係等で予定していた研究集会に参加できなかった。

Strategy for Future Research Activity

シドニー大学が開発している数式処理ソフトMagmaの導入し、計算機のメモリを増設する予定でいる。またLauricella'S FA, FC等の多変数超幾何関数のMonodromyのarithmeticyに関して研究を行う予定でいる。