ホッジ加群の基礎及び応用研究の総仕上げ

2016 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K04816
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 斉藤 盛彦 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (10186968)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: ヒルツェブルフ・ミルナー類 / トム・セバスチャニ定理 / 極位数スペクトル系列 / ホッジ・イデアル / 超局所乗数イデアル

Outline of Annual Research Achievements

まずスペクトル的ヒルツェブルフ・ミルナー類という新しい類を導入することにより、ヒルツェブルフ・ミルナー類に対するトム・セバスチャニ型の定理を確立した。この類は超曲面孤立特異点の場合にはステンブリンク・スペクトルと本質的に一致し、それのバウム，フルトン，マックファーソンらによるトッド類変換を使った大域的一般化になっている。これが必要な理由というのは、トム・セバスチャニ型の定理においてはホッジ・フィルトレーションのずれが各成分のモノドロミー固有値に依存するという事から来る。
次に乗数イデアルに対するトム・セバスチャニ型の定理を定式化し，それが定数係数のホッジ加群の消滅輪体に対するトム・セバスチャニ型の定理から従う事を示した。ただしこの定理は文献に明記されてはいなかった様であるが、乗数イデアルの専門家にとって証明するのはそう難しいことでははないそうである。
それから特異点が全て重み付き斉次孤立特異点であるような射影超曲面の定義関数のb-関数を計算するために、この場合の極位数スペクトル系列のE2-退化を証明した。これによりこの場合のb-関数の計算は特殊な場合を除いてはミルナー代数のヒルベルト数列の計算に帰着される事となったが、この特殊な場合についてはまだ分かっていない事も多いので、更に研究を進めなければならない。
さらにムスタタとポッパによって最近導入されたホッジ・イデアルが、超局所乗数イデアルと与えられた超曲面の定義イデアルを法として一致する事を証明した。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

長年の懸案であった、特異点が全て重み付き斉次孤立特異点である場合の極位数スペクトル系列のE2-退化も証明できた。

Strategy for Future Research Activity

必ずしも重み付き斉次孤立特異点ばかりではない場合の研究を進めたい。

Causes of Carryover

今年度は出席するに値する研究集会があまりなかった。

Expenditure Plan for Carryover Budget

次年度以降の研究集会に出席するために使われる予定である。（既に4月に使われる予定がひとつある。）