ホッジ加群の基礎及び応用研究の総仕上げ

2017 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K04816
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 斉藤 盛彦 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (10186968)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2020-03-31
• Keywords: b-関数 / 極位数スペクトル系列 / Lyubeznik数

Outline of Annual Research Achievements

まずb-関数に関しては，特異点が全て重み付き斉次孤立特異点であるような射影超曲面の定義多項式について極位数スペクトル系列のE2-退化を昨年証明したが，これではまだ全ての場合においてb-関数の根がミルナー代数のヒルベルト数列の計算に帰着されるとは限らないので，何かうまい十分条件がないか具体例の計算をしながら探求を行っている。これと並んで一般超平面切断の特異点が全て重み付き斉次孤立特異点であるような射影超曲面の定義多項式について極位数スペクトル系列の研究を行い、極位数スペクトルの計算機を使った決定が原理的には可能である事を証明した。この場合にはE1項が既に相当複雑な格好なので，その記述には或る程度の可換代数の道具立てが必要となる。これらの具体的計算ができればb-関数の根の計算にはかなり役立つのだが，例えば4変数の超平面配置の場合でもかなり困難なようである。それから孤立特異点のみをもった射影超曲面の定義多項式のb-関数の根の重複度と超曲面の局所b-関数の根の重複度との関係について研究したが，重複度が増えることもあれば，変わらない事もある。これは消滅輪体層の構造と密接に関係していることがわかってきた。
抽象的ブリースコーン加群の変形に関しては，再構成定理に関連して何か矛盾がでてくる可能性があるか，色々と具体例の計算を試みたが，生成条件が非常によく効いているようで，今のところは何もおかしなところは見つかっていない。
その他には，ライヒェルトとヴァルターの質問に答えているうちに，射影多様体の錐のLyubeznik数というのが射影多様体の射影空間への埋入の仕方に依るという，多少とも以外な定理を得た。
またブドゥ－ルの質問に答えて，特異代数多様体の次数1のコホモロジー群のウェイト0部分というのは，代数多様体の位相不変量であるという定理を証明し，それの具体的記述法についても研究した。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

射影超曲面が非孤立特異点を持つ場合においても、適当な条件を付ければ極位数スペクトル系列が計算機を使って原理的に計算可能であることなどが証明できた。

Strategy for Future Research Activity

極位数スペクトル系列の更に効率的な計算法を発見したい。

Causes of Carryover

今年度は出席するに値する研究集会があまりなかった。

次年度以降の研究集会に出席するために使われる予定である。