ホッジ加群の基礎及び応用研究の総仕上げ

2019 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K04816
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 斉藤 盛彦 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (10186968)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2021-03-31
• Keywords: 有理特異点 / 境界ホッジ数 / ニュートン非退化関数 / スペクトラム / 消滅輪体 / ミルナー・ファイバー / ニュートン多面体

Outline of Annual Research Achievements

ケール、ラッツァの両氏との共同研究では、非特異多様体が有理特異点しか持たない多様体に退化した場合には境界ホッジ数が不変であり、更にモノドロミーの冪零指数は通常の場合よりも2だけ良いという事を証明した。これは多様体のモジュライ空間のコンパクト化の理論においてかなり有用ではないかと思われる。証明には混合ホッジ加群の消滅輪体上のモノドロミー・フィルトレーションの理論が本質的に使われる。

韓国の3人との共同研究では、孤立特異点を持った3変数のニュートン非退化関数のスペクトラムの比較的簡単な表示方法を発見した。これはステンブリンクの公式を使うよりも遥かに簡単に計算出来る。これに昔ホッジ加群を使って証明したヨムディンの公式の精密化に関するステンブリンク予想とを組み合わせることにより、特異点が1次元の場合の3変数ニュートン非退化関数のスペクトラムを計算する公式を得た。

ニュートン非退化関数に関しては、消滅輪体をニュートン多面体を使って表示する公式の正確な証明を得た。この公式は専門家の間ではかなり知られたものの様ではあるが、証明は以外と簡単ではなくかなりの技術的困難さを伴う。これを使うことのより、孤立特異点を持ったニュートン非退化関数のモノドロミーのジョルダン・ブロックに関する比較的良く知られた公式をトロピカル幾何を使わずに証明することができる。またここでの論法を使うことにより、デーネフ・ロゼールのモチーフ的ミルナー・ファイバーをニュートン多面体を使って表わす公式も証明することができた。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

孤立特異点を持ったニュートン非退化関数のスペクトル対に関するステンブリンク予想はニュートン多面体が単体的である場合に証明することはできたが、単体的でない場合の状況はまったく良くわかっていない。

Strategy for Future Research Activity

ニュートン多面体が単体的でない場合の研究を続けなければならない。

Causes of Carryover

支出が無かったのは、出席するに値する研究集会が今年度まったく無かったためである。

次年度の研究集会に出席するために使われる予定である。