代数曲線束構造を通じた代数曲面の研究

2015 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K04825
• Research Institution: Kagoshima University
• Principal Investigator: 村上 雅亮 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (10378599)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 松村 慎一 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (90647041)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2019-03-31
• Keywords: 代数曲面

Outline of Annual Research Achievements

代数曲面上の代数曲線束構造は，それを通じて代数曲面に曲線の族としての情報をあたえることにより代数曲面の研究において重要な役割を果たしてきた．本研究は代数曲線束構造の相対標準環から抽出したデータを通じて代数曲線束構造を調べるものであり，具体的には，ア．ファイバーの種数が比較的小さな場合に代数曲線束に対してこの観点からの新しい構造定理を与えること，イ．それを用いて幾つかの応用を与えること，を目標としている．イ．では特に代数曲線束構造の変形空間と代数曲面の倉西空間を比較すること，またこれを用いて幾つかの未解決の具体的な数値不変量の場合について一般型代数曲面のモジュライ空間の連結成分の個数を調べること，が一番の目標である．アの代数曲線束の相対標準環から定まる抽出データについての変形の記述を通じて代数曲線束構造の変形を判定する定理を与えることが出来れば，それを用いて代数曲面を変形することによりモジュライ空間のストラータどうしを張り合わせることができるので，一般型代数曲面のモジュライ空間の研究において良い道具を得ることが期待できるからである．本年度は一般ファイバーの種数が 3 の場合について，既に結果が得られていた場合，すなわち全ての一般ファイバーが超楕円的かつ 2-連結な場合の構造定理を手がかりにして，一般ファイバーの 2-連結性の仮定をはずすことを試みた．またその過程において，具体的な代数曲線束の例を調べた．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

上記の構造定理を得るためには，2-連結でない特異ファイバーの近傍での様子を記述する必要がある．具体的には相対 1-標準層の 2次対称積から相対 2-標準層への射の様子を詳しく調べることになるが，この際に生ずる関係式が想定していたよりも複雑であることが判明した．現在この部分をどうするか考えている．

Strategy for Future Research Activity

上記の難点を克服するべく，前年度の続きを研究するが，それだけでなく，同時に具体的な代数曲面の構造を調べる．応用を視野にいれ，どこまでの構造定理を得れば良いか見極めるためである．