代数曲線束構造を通じた代数曲面の研究

2017 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 15K04825
• Research Institution: Kagoshima University
• Principal Investigator: 村上 雅亮 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (10378599)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 松村 慎一 東北大学, 理学研究科, 准教授 (90647041)
• Project Period (FY): 2015-04-01 – 2019-03-31
• Keywords: 一般型曲面

Outline of Annual Research Achievements

代数曲面を研究する上で，その上に入りうる代数曲線束を調べることは大変に有用であり，そのため代数曲線束構造の一般論が重要となる．本研究ではカタネーゼ＝ピニャテッリにより導入された新しい方法，すなわち相対標準環から抽出したデータを用いて代数曲線束の構造を調べる方法を，ファイバーの種数が高い場合に拡張し，代数曲面のいくつかの問題に応用することを目標とする．本年度は，引き続きファイバーの種数 3 の場合に構造定理を調べたが，同時に得られるべき一般論を模索するために，今まで得られている結果を用いて代数曲面の具体的な例を調べた．第 1 Chern 数が 9 で幾何種数 4 の一般型曲面がそれであり，この場合にある位相的条件のもとで，この不変量をもつ代数曲面に完全な構造定理を与えることができた．幾何種数 4 の代数曲面は標準像の観点から興味深い対象であり，古くからの先行研究もあるので意義のある結果であるはずであるが，上記の曲面を研究するにあたっては既に得られていたファイバーの種数 3 の場合の（自分によるものとカタネーゼ＝ピニャテッリによる）構造定理を用いた．結局他の研究者の論文の結果を用いるとより短くできることが判明したので超楕円的な曲線束構造に関する自分の結果は論文に反映されず，非超楕円的なものに関するカタネーゼ＝ピニャテッリの結果の応用のみが論文に反映されることになりそうではあるが，いずれにせよ上記の代数曲面の構造定理は得られているので，あとは標準像の記述とモジュライ空間の次元の計算ができた時点で論文にまとめる予定である．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

前半にできた部分があり，残りの部分をやるにあたって他者の論文を読む必要があったが，この論文におかしな部分（本当におかしいかは不明）をみつけ，つかえていたため．結局この論文の結果は使わずにできることが分かった．

Strategy for Future Research Activity

まずは上記の標準像の計算とモジュライ空間の次元，有理性の証明を片付ける．そののち曲線束の構造定理を引き続き調べながら，同時に代数曲線束の数値的に端の例をつくり，標準写像がペンシルになる場合の研究への応用を模索する．

Causes of Carryover

バイロイト大学に研究討論に行くのを2018年度にしたのと，2018年のイタリアでの研究集会への参加予定が入ったため．次年度使用額はこれら二回の外国出張に用いる予定．